§ 5. Неравенства с модулями

Определения и обозначения

Модуль числа — неотрицательное расстояние от числа до нуля. Например, |−4| = 4, а |0| = 0. Поэтому модуль любого выражения не может быть отрицательным: |x| ≥ 0. Это свойство помогает сразу оценить, может ли неравенство вообще иметь решения.

Неравенство с модулем — неравенство, в котором неизвестная входит под знак модуля. Например, |2x − 1| < 5: значение выражения внутри модуля зависит от x, но сам модуль всегда неотрицателен. Чтобы решить такое неравенство, нужно понять, какие значения может принимать выражение и как знак неравенства ограничивает его.

Равносильные неравенства — неравенства с одинаковыми множествами решений. Например, при a > 0 условие |x| < a можно заменить двойным неравенством −a < x < a. Такая замена нужна, чтобы перейти от модуля к обычным неравенствам, которые уже можно решить знакомыми способами.

Расстояние на координатной прямой от числа x до точки a выражается формулой |x − a|. Выражение внутри модуля показывает разность координат, а модуль убирает её знак и оставляет расстояние. Это толкование помогает представить решения как часть прямой, расположенную ближе или дальше заданной точки.

Как это устроено

Сравнение |f(x)| с положительным числом a описывает, насколько далеко значение f(x) может находиться от нуля. Если |f(x)| < a, расстояние меньше a, значит f(x) расположено между −a и a. Если же |f(x)| > a, расстояние больше a, поэтому значение оказывается по одну из двух сторон: левее −a или правее a. Отсюда двойное неравенство в первом случае и две отдельные области во втором.

При нестрогих знаках логика та же, но границы становятся допустимыми. Условие |f(x)| ≤ a означает, что f(x) лежит между −a и a включительно, а |f(x)| ≥ a — что оно находится не ближе a к нулю, включая точки −a и a. Именно поэтому в записи меняются знаки < и > на ≤ и ≥. Это различие определяет, будут ли концы промежутков входить в ответ.

Геометрический смысл |x − a| объясняет форму ответа без вычислений: это расстояние от x до точки a. Условие |x − a| < r задаёт числа, которые ближе чем на r к точке a, то есть промежуток вокруг неё. Условие |x − a| > r задаёт числа, удалённые от неё больше чем на r, — две части прямой по разные стороны от промежутка. При нестрогих знаках граничные точки добавляются или исключаются соответственно.

Если справа стоит выражение с x, нельзя сразу применять правила для положительного числа: правая часть может быть отрицательной, а модуль всегда неотрицателен. Сначала найдите, где эта часть положительна, и учтите, что вне этой области неравенство может быть невозможно или решаться иначе. Затем отметьте нули выражения под модулем и другие важные точки, разбивая прямую на промежутки. На каждом промежутке знак выражения постоянен, поэтому модуль можно раскрыть подходящим образом и решить получившееся неравенство.

Проверка нужна, чтобы не потерять ограничения исходного условия и не включить лишние точки. Сначала объедините решения тех промежутков, где выполнены все условия данного случая, а затем соедините подходящие случаи знаком объединения. Подставьте контрольное значение из каждого найденного промежутка в исходное неравенство; если граница включена, проверьте и её. Такой порядок помогает обнаружить ошибку со знаком или с выбором скобки.

Сведение неравенств с модулем при a > 0

Сначала определите, сравнивается ли модуль с числом меньше или больше, затем выберите строку с подходящим знаком. Слово «или» означает, что достаточно одного из условий, поэтому решения двух внешних областей объединяют. Для нестрогих неравенств внимательно проверьте, включены ли граничные точки.

Разбор задач

Решить неравенство |2x − 1| < 5. Модуль меньше положительного числа, значит выражение внутри него должно находиться между −5 и 5. Решим двойное неравенство, выполняя преобразования сразу для обеих частей. Ответ запишем промежутком, не включая точки, где исходное неравенство превращается в равенство.

1. Запишем равносильное условие: −5 < 2x − 1 < 5.
2. Прибавим 1 ко всем трём частям: −4 < 2x < 6.
3. Разделим на 2: −2 < x < 3.

Ответ: (−2; 3). Например, x = 0 подходит, поскольку |−1| < 5; значения на границах не подходят из-за строгого знака.

Решить неравенство |x + 2| ≥ 3. Здесь требуется, чтобы расстояние от x + 2 до нуля было не меньше 3. Значит, выражение x + 2 расположено не правее −3 или не левее 3. Получаются два случая, которые решаем отдельно, а затем объединяем.

1. Запишем совокупность: x + 2 ≤ −3 или x + 2 ≥ 3.
2. Из первого неравенства получаем x ≤ −5, из второго — x ≥ 1.
3. Объединим оба луча, потому что в условии стоит «или».

Ответ: (−∞; −5] ∪ [1; +∞). Например, x = −5 и x = 1 подходят: в обоих случаях модуль равен 3, а знак неравенства допускает равенство.

Решить неравенство |x − 1| < x + 2. Правая часть зависит от x, поэтому сначала нужно выяснить, когда она положительна: при x + 2 ≤ 0 неравенство невозможно, так как модуль неотрицателен. На оставшейся области выражение под модулем меняет знак в точке x = 1. Разберём случаи по эту точку и сохраним все ограничения.

1. Из необходимости x + 2 > 0 получаем x > −2.
2. При x ≥ 1 модуль равен x − 1; неравенство x − 1 < x + 2 верно для всех таких x.
3. При x < 1 модуль равен 1 − x. Решаем 1 − x < x + 2: −1 < 2x, то есть x > −½. С учётом случая получаем (−½; 1).
4. Объединяем решения случаев: (−½; 1) ∪ [1; +∞) = (−½; +∞).

Ответ: (−½; +∞). Проверка x = 0 даёт 1 < 2, а x = −1 не подходит, поскольку 3 < 1 неверно.

Типичные ошибки

• Иногда |f(x)| > a ошибочно заменяют двойным неравенством −a < f(x) < a. Так происходит, если запомнить только правило для знака «меньше». Проверьте себя на f(x) = 0: при a > 0 модуль не больше a, значит внутренний промежуток не может описывать знак «больше».
• Правила сравнения с положительным a применяют, не проверив знак правой части. Это случается, когда выражение, зависящее от x, принимают за постоянное число. Перед преобразованиями решите неравенство, определяющее, где правая часть положительна.
• Модуль раскрывают без разбиения по знаку выражения внутри него. Ошибка возникает из-за неверного переноса привычной формулы на всю числовую прямую. Найдите ноль выражения и проверьте знак по обе стороны: при смене знака меняется и формула для модуля.
• Объединение решений заменяют пересечением или наоборот. Причина — смешение слов «или» и «и»: первое допускает любой подходящий случай, второе требует выполнения условий одновременно. Прочитайте исходное условие вслух и проверьте, объединяются ли области или берётся только их общая часть.

Связь с другими темами

Для решения понадобятся определение модуля, линейные неравенства и умение изображать промежутки на числовой прямой. Геометрический смысл модуля связан с расстоянием между точками: |x − a| показывает, как далеко x отстоит от a. Разбиение прямой на промежутки опирается на метод интервалов. Эти приёмы пригодятся в более сложных неравенствах с рациональными выражениями и несколькими модулями.

Что запомнить

• При a > 0 условие |f(x)| < a равносильно −a < f(x) < a.
• При a > 0 условие |f(x)| > a равносильно f(x) < −a или f(x) > a.
• В нестрогих неравенствах границы включают в решение.
• Модуль выражения раскрывают с учётом его знака.
• Если правая часть зависит от x, сначала выясняют, где она положительна.
• Ответ проверяют по исходному неравенству и записывают в виде промежутков.