§ 4. Совокупности неравенств

Определения и обозначения

Совокупность неравенств — несколько неравенств, соединённых смыслом «или». Переменная должна удовлетворять хотя бы одному из записанных условий. Такая запись нужна, когда задача допускает разные варианты выбора значения.

Решение совокупности неравенств — все значения переменной, подходящие хотя бы для одного неравенства совокупности. Иными словами, проверять нужно не одновременное выполнение всех условий, а возможность выполнить любое из них. Результат обычно записывают промежутками или их объединением.

Объединение множеств решений — множество, в которое входят решения каждого отдельного неравенства. Если одно и то же значение встретилось несколько раз, его записывают только один раз. Объединение обозначают знаком ∪.

Дизъюнкция — логическая связка «или». Она показывает, что истинность хотя бы одного условия достаточна для получения решения совокупности. Поэтому дизъюнкции соответствует объединение множеств, а не их пересечение.

Как это устроено

Совокупность соответствует «или», потому что проверяемое значение получает право попасть в ответ уже при выполнении одного условия. Например, если число подходит первому неравенству, проверка второго становится необязательной. Требование выполнить оба условия сразу было бы уже системой, а не совокупностью.

Сначала каждое неравенство решают независимо от остальных. Так находят промежутки, на которых условие истинно, и не смешивают разные способы решения: линейное, квадратное или дробно-рациональное. Затем найденные множества соединяют операцией объединения.

На числовой прямой отмечают решения всех неравенств. Пустая точка показывает, что конец не входит в промежуток, а закрашенная точка — что входит. Это зависит не от положения числа, а от строгого или нестрогого знака и от области допустимых значений.

Если промежутки пересекаются или соприкасаются так, что между ними нет пропуска, их можно записать одним более длинным промежутком. Общая часть не вычитается: она является решением хотя бы одного неравенства и потому остаётся в ответе. Непересекающиеся промежутки записывают через знак ∪.

У совокупности и системы разные логические правила. В совокупности работает «или», поэтому берут все подходящие части числовой прямой; в системе работает «и», поэтому оставляют только общую часть. Перед началом решения полезно мысленно заменить знаки связками: это помогает выбрать правильную операцию над множествами.

Сравнение совокупности и системы неравенств

Таблицу удобно использовать как проверку перед записью ответа. Сначала определите логическую связку, затем выберите объединение или пересечение. После этого сравните получившийся промежуток с рисунком на числовой прямой.

Разбор задач

Задача 1. Решить совокупность: x ≤ −2 или x > 1. Здесь оба условия линейные и не зависят друг от друга. Поэтому нужно найти два промежутка и объединить их.

1. Из первого неравенства получаем x ∈ (−∞; −2]. Число −2 включено, потому что знак неравенства нестрогий.
2. Второе неравенство даёт x ∈ (1; +∞). Число 1 не входит в ответ из-за знака >.
3. Промежутки не пересекаются, поэтому объединение не сокращается: x ∈ (−∞; −2] ∪ (1; +∞).

Ответ: x ∈ (−∞; −2] ∪ (1; +∞).

Задача 2. Решить совокупность: (x − 2)(x + 1) ≤ 0 или x > 3. В первом условии нужно определить знак произведения по корням −1 и 2. Во втором условии сразу получается правый луч.

1. Произведение (x − 2)(x + 1) не положительно между корнями, включая их: x ∈ [−1; 2].
2. Из условия x > 3 получаем x ∈ (3; +∞), причём 3 исключается.
3. Промежутки [−1; 2] и (3; +∞) не имеют общих точек. Значит, их объединение записывается через ∪.

Ответ: x ∈ [−1; 2] ∪ (3; +∞).

Задача 3. Решить совокупность: (x − 1)/(x + 2) ≥ 0 или x² − 5x + 6 < 0. Оба неравенства решаем отдельно, но в первом обязательно учитываем запрет x = −2. После этого объединяем результаты.

1. Для дроби критические точки −2 и 1. Знаки показывают, что дробь неотрицательна на (−∞; −2) ∪ [1; +∞), при этом −2 исключается как ноль знаменателя.
2. Квадратный трёхчлен раскладывается так: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Он отрицателен между корнями, поэтому x ∈ (2; 3).
3. Объединяем множества: (−∞; −2) ∪ [1; +∞) уже содержит промежуток (2; 3). Поэтому итог не расширяется.

Ответ: x ∈ (−∞; −2) ∪ [1; +∞).

Типичные ошибки

Частая ошибка — пересечь решения отдельных неравенств вместо объединения. Так происходит, когда совокупность путают с системой. Проверьте себя вопросом: требуется «хотя бы одно» условие или «все сразу»?

Иногда из общей части промежутков удаляют значения. Это неверно: значение, подходящее сразу двум неравенствам, тем более подходит совокупности. На прямой общую часть оставляют и записывают один раз.

Другая ошибка — неправильно поставить круглую или квадратную скобку. Строгие знаки < и > не включают конец, а знаки ≤ и ≥ включают, если значение допустимо. Подставьте граничную точку в исходное неравенство, чтобы проверить скобку.

При дробях иногда забывают исключить нуль знаменателя. В такой точке выражение не имеет смысла, даже если после объединения она попадает в другой промежуток. Выпишите ОДЗ до решения и сравните с окончательным ответом.

Связь с другими темами

Для совокупностей нужно уметь решать линейные, квадратные и дробно-рациональные неравенства, пользоваться интервальным методом и обозначать промежутки. Тема помогает решать задачи с альтернативными условиями и находить области допустимых значений. Она напрямую связана с операциями над множествами и логическими связками «или» и «и».

Что запомнить

• Совокупность неравенств означает логическое «или».
• Решение совокупности получают объединением решений отдельных неравенств.
• Каждое неравенство совокупности сначала решают независимо.
• Общие части промежутков входят в объединение один раз.
• Знак объединения обозначают ∪.
• В совокупности достаточно выполнения хотя бы одного неравенства.
• Нельзя забывать об ОДЗ и о правильном включении концов промежутков.