§ 3. Системы неравенств

Определения и обозначения

Система неравенств — совокупность неравенств с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Обычно условия записывают фигурной скобкой одно под другим. Это обозначение напоминает, что нужно найти значение, подходящее не каждому условию на выбор, а всем сразу.

Решение системы неравенств — значение переменной, удовлетворяющее каждому неравенству системы. Например, если x = 2 делает истинными все записанные условия, то 2 — решение. Понятие помогает проверить конкретное число подстановкой, но для полного ответа обычно нужно найти все подходящие числа.

Множество решений системы — все значения переменной, являющиеся решениями всех неравенств системы. Его записывают числовым промежутком или несколькими промежутками, а также изображают на числовой прямой. Такая запись показывает сразу все допустимые значения, а не один частный пример.

Равносильные системы неравенств — системы, имеющие одно и то же множество решений. Заменять систему равносильной удобно, когда преобразованный вариант проще решить. При этом нельзя потерять подходящие значения или добавить неподходящие, поэтому каждое преобразование нужно выполнять с учётом его правил.

Как это устроено

Решение системы определяется пересечением решений отдельных неравенств, потому что одно и то же значение должно подходить каждому условию. Если первое неравенство допускает числа от 1 и больше, а второе — числа меньше 5, то общими будут числа от 1 до 5, причём границы учитываются по знакам неравенств. Объединение, напротив, включило бы числа, которые удовлетворяют только одному условию. Для системы это недостаточно.

Удобный алгоритм состоит из трёх действий: решить каждое неравенство отдельно, показать полученные множества на числовой прямой и найти их общую часть. Сначала отдельные решения проще получить алгебраически, не смешивая условия. Затем на прямой хорошо видно, где промежутки накладываются друг на друга. Остаётся записать эту общую часть как ответ системы.

Граничные точки на прямой отмечают закрашенными или незакрашенными кружками, чтобы не потерять информацию о знаке неравенства. При строгом знаке < или > равенство границе не подходит, поэтому точка незакрашенная; при ≤ или ≥ равенство возможно, поэтому допустимую границу закрашивают. Если точка является нулём знаменателя, она запрещена независимо от знака неравенства. При пересечении проверяют границы каждого промежутка и оставляют точку только тогда, когда она разрешена всеми условиями.

Преобразования должны сохранять равносильность, иначе ответ изменится. Если умножить или разделить обе части неравенства на отрицательное число, порядок чисел меняется на противоположный, поэтому знак неравенства нужно перевернуть: например, −2x > 6 равносильно x < −3. При прибавлении одного и того же числа к обеим частям знак сохраняется. При переносе слагаемого меняется знак слагаемого, а не знак неравенства.

Способ решения выбирают по виду неравенства, потому что для разных выражений удобны разные приёмы. В линейном неравенстве переносят слагаемые и выделяют переменную; в квадратном находят корни и определяют знак выражения на промежутках. В дробно-рациональном неравенстве отмечают нули числителя и знаменателя и применяют метод интервалов — проверяют знак выражения между отмеченными точками. Если после раскрытия скобок и приведения подобных выражение упрощается, сначала выполняют эти действия, а затем выбирают подходящий способ.

Способы решения систем неравенств

Сравнивайте не только вид отдельных условий, но и то, как их решения пересекаются: одинаковый способ изображения помогает не перепутать границы и пустое пересечение.

Таблица подсказывает, с какого приёма начать, но не заменяет решение каждого условия. После преобразований изобразите промежутки и проверяйте границы по исходным знакам и ограничениям на знаменатель. Ответом будет только общая часть полученных множеств.

Разбор задач

Линейные неравенства

Решить систему: { 2x − 3 > 1; 5 − x ≥ 2 }. Здесь оба условия линейные, поэтому решим их по отдельности, а затем сравним промежутки. Для строгого знака граница не включается, а для нестрогого включается, если она подходит условию.

1. Решим первое неравенство: 2x − 3 > 1, значит, 2x > 4 и x > 2. Получаем промежуток (2; +∞).
2. Решим второе: 5 − x ≥ 2, значит, −x ≥ −3. Делим на −1 и меняем знак: x ≤ 3, то есть промежуток (−∞; 3].
3. Найдём пересечение: одновременно должны выполняться x > 2 и x ≤ 3. Подходят числа от 2 до 3, число 2 исключено, а 3 включено.

Ответ: x ∈ (2; 3]. Проверка границ подтверждает запись: 2 не удовлетворяет первому строгому неравенству, а 3 удовлетворяет обоим условиям.

Квадратное и линейное неравенства

Решить систему: { x² − 5x + 6 ≤ 0; x + 1 > 0 }. Сначала определим, где выполняется квадратное условие, а затем пересечём результат с решением линейного. Корни квадратного трёхчлена разделят прямую на промежутки с разными знаками.

1. Разложим трёхчлен: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Корни равны 2 и 3; произведение неположительно между корнями, включая их, поэтому x ∈ [2; 3].
2. Решим линейное неравенство: x + 1 > 0, откуда x > −1. Его решение — промежуток (−1; +∞).
3. Пересечём промежутки [2; 3] и (−1; +∞). Оба конца первого промежутка остаются, поскольку они больше −1.

Ответ: x ∈ [2; 3]. Корни 2 и 3 включены, так как квадратное неравенство нестрогое, и оба числа удовлетворяют второму условию.

Дробно-рациональное и квадратное неравенства

Решить систему: { (x − 2)/(x + 1) < 0; x² − 4x + 3 ≥ 0 }. В первом условии важно отдельно учесть ноль знаменателя, а во втором — корни трёхчлена. После этого для каждого неравенства определим подходящие промежутки и найдём их общую часть.

1. У дроби критические точки −1 и 2: при x = −1 знаменатель равен нулю, а при x = 2 числитель равен нулю. Знак дроби отрицателен между этими точками, поэтому получаем (−1; 2).
2. Разложим второй трёхчлен: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3). Произведение неотрицательно вне промежутка между корнями, включая корни: (−∞; 1] ∪ [3; +∞).
3. Пересечём множества решений. Общая часть промежутка (−1; 2) с множеством (−∞; 1] ∪ [3; +∞) — это (−1; 1]. Точка −1 запрещена знаменателем, а 1 допустима.

Ответ: x ∈ (−1; 1]. Число 2 не входит уже в решение первого неравенства, а числа от 3 и больше не попадают в его отрицательный промежуток.

Типичные ошибки

Объединение вместо пересечения появляется, когда систему ошибочно читают как условие «подходит хотя бы одно неравенство». Тогда в ответ попадают числа, нарушающие часть условий. Проверяйте найденный ответ подстановкой в каждое неравенство: если хотя бы одно не выполняется, число не подходит; на прямой оставляйте только общие участки.

При умножении или делении на отрицательное число иногда забывают изменить знак неравенства. Причина в том, что действие похоже на обычное преобразование уравнения, хотя порядок чисел при смене знаков меняется. Для самопроверки подставьте любое число, удовлетворяющее исходному неравенству, и убедитесь, что преобразованная запись допускает его; например, из −2x > 6 должно получиться x < −3.

В дробно-рациональном неравенстве могут включить в ответ корень знаменателя. Это происходит, если отмечают только нули числителя или смотрят на скобки, не проверяя область допустимых значений. Найдите значения, при которых знаменатель равен нулю, до применения метода интервалов и вычеркните их из ответа при любом знаке неравенства.

Неверно выбранная скобка включает исключённую границу или убирает допустимую. Обычно путают строгие и нестрогие знаки либо забывают, что точка может быть запрещена знаменателем. Проверьте каждую границу отдельно: подстановка показывает, выполняется ли неравенство в точке, а условие знаменателя подтверждает, допустимо ли вообще это значение.

Связь с другими темами

Для решения систем нужны свойства числовых неравенств и правила преобразований: они помогают выделять переменную и не менять множество решений случайно. Также пригодятся обозначения промежутков и умение изображать их на числовой прямой. Знание линейных и квадратных неравенств, а также метода интервалов позволяет находить решения отдельных условий. Системы применяют в задачах с несколькими ограничениями, при нахождении областей допустимых значений и решении неравенств с параметрами.

Что запомнить

• Решение системы должно удовлетворять всем её неравенствам одновременно.
• Множество решений системы — пересечение множеств решений отдельных неравенств.
• Каждое неравенство системы решают отдельно.
• При делении или умножении на отрицательное число знак неравенства меняется.
• Нули знаменателя никогда не входят в решение дробно-рационального неравенства.
• Закрашенная точка соответствует включённой границе, незакрашенная — исключённой.
• Если общих точек нет, система решений не имеет.