§ 4. Системы неравенств

Определения и обозначения

Система неравенств — несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Например, запись x > 1, x < 5 означает, что оба условия относятся к одному и тому же числу x. Понятие системы нужно, когда задача задаёт сразу несколько ограничений, и недостаточно проверить только одно из них.

Решение системы неравенств — значение переменной, при котором верны все неравенства системы. Если число подходит первому условию, но нарушает второе, оно не является решением системы. Это определение помогает проверять каждый ответ по всем условиям, а не по одному выбранному неравенству.

Множество решений — все значения переменной, являющиеся решениями системы; его можно записать промежутком или объединением промежутков. Например, ответ может быть интервалом между двумя границами или несколькими отдельными частями числовой прямой. Такая запись показывает сразу все подходящие значения, а не только одно число.

Пересечение множеств — значения, которые принадлежат каждому из рассматриваемых множеств. Именно пересечение задаёт общее решение системы, потому что её условия необходимо выполнить все сразу. На числовой прямой это общая часть отмеченных множеств, включая только те граничные точки, которые допускают соответствующие знаки неравенств.

Как это устроено

Решить каждое неравенство отдельно недостаточно: так мы узнаем лишь, какие значения подходят каждому условию поодиночке. Но система требует, чтобы одно и то же значение удовлетворяло им всем одновременно. Поэтому из ответов отдельных неравенств нужно оставить только числа, которые встречаются во всех ответах. Например, значение может подходить первому условию, но оказаться слишком большим для второго.

Для поиска общего решения каждое неравенство сначала решают привычным способом и записывают его множество решений. Затем эти множества пересекают, то есть выбирают только общие значения. Такой порядок удобен потому, что сложное условие разбивается на отдельные знакомые задачи, а связь между ними учитывается на последнем шаге. В результате система сводится к сравнению промежутков и их границ.

Решения удобно изображать на координатной, или числовой, прямой. На ней границы строгого неравенства отмечают выколотыми точками, а нестрогого — закрашенными: это сразу показывает, входит ли граница в множество. Для каждого условия выбирают нужную сторону от точки или отмечают несколько частей прямой. Общая часть рисунков и есть решение системы, поэтому направление каждой отметки нужно сохранять.

После нахождения общей части ответ записывают в виде промежутка или объединения промежутков, если подходящие числа образуют несколько отдельных частей. Когда общая часть состоит из одной точки, записывают, например, x = 2, а не промежуток вокруг этого значения. Если общих значений нет, система не имеет решений; это можно обозначить символом ∅. Вид записи зависит от того, какие именно значения остались после пересечения.

Найденный ответ полезно проверить по исходным условиям. Для отдельного числа подставляют его в каждое неравенство, а для промежутка убеждаются, что все его значения входят в каждое множество решений. Отдельно проверяют граничные точки: ошибка со строгим или нестрогим знаком может добавить лишнее значение или исключить нужное. Проверка обнаруживает такие неточности до записи окончательного ответа.

Как находить решение системы неравенств

Таблица помогает не перепутать вычисления и объединение множеств. Выполняйте этапы по порядку: сначала получите отдельные решения, затем сравните их на прямой. Последняя проверка нужна, чтобы убедиться, что ответ подходит всем условиям системы.

Разбор задач

Задача 1. Решите систему x > 1, x < 5. Первое неравенство задаёт все числа правее 1, не включая границу. Второе оставляет числа левее 5, также без самой границы. Поэтому берём часть числовой прямой, которая подходит обоим условиям.

1. Решение первого неравенства: x ∈ (1; +∞).
2. Решение второго: x ∈ (−∞; 5).
3. Их общая часть — числа больше 1 и меньше 5.

Ответ: x ∈ (1; 5). Границы не входят, потому что оба неравенства строгие.

Задача 2. Решите систему 2x − 3 ≤ 5, x + 1 > 0. Чтобы найти общую часть, сначала преобразуем каждое условие отдельно. При решении первого неравенства прибавляем 3 к обеим частям и делим на положительное число 2, поэтому знак не меняется. Затем пересекаем полученные промежутки с учётом того, что первое условие включает границу, а второе — нет.

1. Из 2x − 3 ≤ 5 получаем 2x ≤ 8, значит, x ≤ 4.
2. Из x + 1 > 0 получаем x > −1.
3. Общая часть — числа больше −1 и не больше 4.

Ответ: x ∈ (−1; 4]. Точка −1 выколота, а точка 4 закрашена.

Задача 3. Решите систему x² − 4 ≥ 0, x − 1 < 0. В первом условии разложим выражение или найдём нули: квадратное неравенство выполняется вне промежутка между корнями. Второе условие ограничивает x значениями меньше 1. При пересечении важно не потерять граничные корни первого неравенства и проверить, попадает ли каждый из них под второе условие.

1. Корни уравнения x² − 4 = 0: −2 и 2. Значит, x² − 4 ≥ 0 при x ≤ −2 или x ≥ 2.
2. Из x − 1 < 0 получаем x < 1.
3. Общая часть первого множества с x < 1 — только значения x ≤ −2.

Ответ: x ∈ (−∞; −2]. Число −2 включено, потому что квадратное неравенство нестрогое и −2 удовлетворяет второму условию.

Типичные ошибки

Объединяют решения отдельных неравенств вместо пересечения. Так происходит, если забыть, что условия системы должны выполняться одновременно: объединение оставляет значения, подходящие хотя бы одному условию. Проверьте любое значение из ответа подстановкой во все неравенства — если хотя бы одно не выполнено, ответ неверен. В системе оставляют только общую часть множеств.

Неверно отмечают граничную точку. Выколотую точку иногда ставят при знаке ≤ или закрашенную при знаке >, потому что ориентируются только на положение границы. Сверьте знак: строгие < и > исключают равенство, нестрогие ≤ и ≥ его допускают. Если граница входит в ответ, подстановка этого числа должна подтвердить каждое условие.

Теряют часть промежутка или включают лишние значения при поиске общей части. Такое случается, когда не учитывают направление неравенства или проверяют только одну границу. На прямой отметьте каждое множество отдельно, а затем оставьте лишь участок, покрытый всеми отметками. Дополнительно проверьте границы и пробное значение внутри предполагаемого промежутка.

Записывают ответ промежутком, не проверив, пусто ли пересечение. Можно автоматически перенести границы из неравенств и не заметить, что одно множество целиком лежит отдельно от другого. Сначала найдите общую часть на числовой прямой, и лишь потом оформляйте запись. Если общих значений нет, у системы нет решений, и указывать промежуток нельзя.

Связь с другими темами

Для решения систем нужно уметь решать линейные и квадратные неравенства, а также изображать их ответы на числовой прямой. Этот навык пригодится в задачах с несколькими ограничениями и при поиске допустимых значений переменной: все ограничения требуется выполнить одновременно. Системы неравенств связаны и с системами уравнений, поскольку в обоих случаях ищут значения, подходящие сразу нескольким условиям. Отличается характер условий: в одном случае это неравенства, в другом — равенства.

Что запомнить

• Решение системы должно удовлетворять каждому неравенству.
• Множество решений системы — пересечение множеств решений её неравенств.
• Каждое неравенство сначала решают отдельно.
• Строгая граница не входит в множество решений.
• Если общих значений нет, система не имеет решений.
• Ответ удобно записывать промежутком или объединением промежутков.