§ 3. Множества и операции над ними

Определения и обозначения

Множество — совокупность объектов, которую рассматривают как единое целое. Его обозначают обычно заглавной буквой, а элементы записывают в фигурных скобках: A = {1, 2, 3}. Такое описание помогает объединить объекты по общему признаку и рассуждать о них одновременно.

Элемент множества — объект, принадлежащий этому множеству. Запись 2 ∈ A означает «2 принадлежит A», а 5 ∉ A — «5 не принадлежит A». Эти знаки нужны, чтобы точно проверять, входит ли конкретный объект в рассматриваемую совокупность.

Подмножество — множество, каждый элемент которого принадлежит другому множеству. Запись A ⊂ B означает, что каждый элемент A входит в B. Подмножества позволяют сравнивать множества, а равенство множеств устанавливают по совпадению всех элементов.

Объединение A ∪ B состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств, а пересечение A ∩ B — из элементов, принадлежащих обоим одновременно. Поэтому объединение собирает все элементы без повторений, а пересечение оставляет только общую часть. Эти операции помогают объединять или сопоставлять условия.

Как это устроено

Множество можно задать перечислением: A = {2, 4, 6, 8}. Если элементов много или их удобно описать признаком, используют условие: A = {x ∈ Z | −2 ≤ x ≤ 3}. Порядок записи не важен, потому что множество определяется составом, а не расположением элементов. Повторение также ничего не меняет: {1, 2, 2, 3} и {1, 2, 3} — одно и то же множество.

Чтобы проверить, является ли A подмножеством B, нужно рассмотреть каждый элемент A и убедиться, что он есть в B. Если хотя бы один элемент A не принадлежит B, запись A ⊂ B неверна. Такой способ следует прямо из определения подмножества: исключений быть не должно. Два множества равны, когда каждый элемент первого входит во второе и каждый элемент второго входит в первое.

В объединении A ∪ B достаточно условия «в A или в B», причём элемент, встречающийся в обоих множествах, записывают один раз. В пересечении A ∩ B требуется более строгое условие «и в A, и в B». На диаграммах Эйлера — Венна множества изображают кругами: объединение — вся область двух кругов, а пересечение — их общая часть.

Разность A \ B — это элементы A, которые не входят в B, поэтому порядок букв здесь существенен. Пустое множество ∅ не содержит ни одного элемента и является подмножеством любого множества. Универсальное множество U включает все объекты, которые рассматриваются в задаче. Дополнение Aᶜ состоит из элементов U, не принадлежащих A, поэтому без U дополнение определить нельзя.

Основные операции над множествами

В таблице сначала определите, какое условие принадлежности нужно проверить, а затем выберите соответствующую область на диаграмме. Символы «или» и «и» помогают отличить объединение от пересечения. Для разности и дополнения обязательно учитывайте, какое множество является исходным.

Разбор задач

Задача 1. Даны A = {1, 2, 3} и B = {3, 4}. Найдём объединение и пересечение, отдельно проверяя каждый элемент. Это не позволит случайно включить в пересечение числа, которые есть только в одном множестве.

1. Для A ∪ B берём 1, 2 и 3 из A, затем добавляем 4 из B; число 3 повторно не записываем.
2. Для A ∩ B оставляем только число 3, поскольку оно принадлежит и A, и B.

Ответ: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, A ∩ B = {3}. Объединение получилось больше каждого исходного множества, а пересечение содержит только общий элемент.

Задача 2. Пусть A = {x ∈ Z | −2 ≤ x ≤ 3}, B = {x ∈ Z | 1 ≤ x ≤ 5}. Сначала превратим условия в списки целых чисел, потому что разность удобнее находить поэлементно. Затем в каждом случае будем удалять элементы второго множества.

1. A = {−2, −1, 0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5}.
2. Из A убираем 1, 2, 3 и оставляем −2, −1, 0, поэтому A \ B = {−2, −1, 0}.
3. Из B убираем 1, 2, 3, оставляя 4 и 5, поэтому B \ A = {4, 5}.

Ответ: A \ B = {−2, −1, 0}, B \ A = {4, 5}. Результаты разные, потому что в разности меняется исходное множество.

Задача 3. U = {1, 2, …, 10}, A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5}. Требуется найти (A ∪ B) \ (A ∩ B), то есть сначала выделить все элементы двух множеств и их общие элементы. После этого из объединения удалим пересечение.

1. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}, а A ∩ B = {2, 4}.
2. Удаляем 2 и 4 из объединения: получаем {1, 3, 5, 6, 8, 10}.
3. Эти элементы принадлежат ровно одному из множеств, что можно увидеть как две неперекрывающиеся части кругов на диаграмме.

Ответ: (A ∪ B) \ (A ∩ B) = {1, 3, 5, 6, 8, 10}. Это множество элементов, которые входят только в A или только в B.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что A ∪ B состоит только из общих элементов. Так происходит из-за смешения слов «объединение» и «пересечение». Проверьте: для объединения достаточно принадлежности хотя бы одному множеству.

Ошибка 2. Путать условия «хотя бы одно» и «оба одновременно». В первом случае получается объединение, во втором — пересечение. Полезно проверить каждый спорный элемент по двум вопросам: где он находится и требуется ли одновременная принадлежность.

Ошибка 3. Считать разность симметричной. В A \ B удаляют элементы из A, а в B \ A — из B, поэтому результаты обычно различаются. Для проверки временно подпишите, из какого множества берёте элементы.

Ошибка 4. Находить дополнение без универсального множества. Набор объектов вне A зависит от того, какие объекты вообще разрешено рассматривать. Перед решением найдите явно заданное U.

Связь с другими темами

До изучения множеств нужны навыки задания числовых промежутков и проверки условий для чисел. Множества связывают алгебру с логикой: условие описывает, какие объекты входят в множество. Поэтому операции над множествами помогают объединять и пересекать множества решений уравнений и неравенств. Они также используются при работе с числовыми промежутками.

Что запомнить

• Порядок элементов при записи множества не важен.
• A ⊂ B означает, что каждый элемент A принадлежит B.
• В A ∪ B входят элементы хотя бы одного из множеств.
• В A ∩ B входят только общие элементы.
• В A \ B входят элементы A, не принадлежащие B.
• Дополнение множества определяется относительно универсального множества.