§ 2. Множества и операции над ними

Определения и обозначения

Множество — совокупность объектов, которую рассматривают как одно целое. Например, ℕ обозначает натуральные числа, ℤ — целые, ℚ — рациональные числа; множество обычно называют заглавной буквой, например A или B. Такое описание позволяет говорить сразу о целом наборе, а не перечислять объекты каждый раз.

Объект, входящий в множество, называют его элементом: x ∈ A читают «x принадлежит A», а x ∉ A — «x не принадлежит A». Множество можно задать перечислением, например A = {1, 2, 3}, или условием: B = {x ∈ ℤ | x > 0}. Перечисление удобно для небольших наборов, а условие — когда элементов много или их можно описать общим правилом.

Запись A ⊂ B означает, что каждый элемент множества A принадлежит B, то есть A является его подмножеством. При таком обозначении допускается и случай A = B: тогда каждое множество включено в другое. Пустое множество ∅ не содержит элементов, поэтому в нём нет элемента, который нарушал бы условие включения; следовательно, ∅ — подмножество любого множества.

Объединение A ∪ B собирает элементы A и B, пересечение A ∩ B оставляет общие, а разность A \ B — элементы A, отсутствующие в B. Дополнением A называют элементы универсального множества U, которые не входят в A. Универсальное множество задаёт границы рассматриваемых объектов, поэтому дополнение имеет смысл только относительно выбранного U.

Как это устроено

Чтобы установить равенство A и B, проверяют включение в обе стороны. Сначала убеждаются, что любой элемент A принадлежит B, затем — что любой элемент B принадлежит A; вместе это означает, что наборы состоят из одних и тех же элементов. Одного направления недостаточно: например, A может быть частью B, но в B могут оставаться элементы, которых нет в A.

Определение объединения прямо переводится на язык условий: x ∈ A ∪ B тогда и только тогда, когда x ∈ A или x ∈ B. Здесь «или» включает случай, когда x принадлежит обоим множествам. Для пересечения нужно одновременно выполнить оба условия: x ∈ A ∩ B тогда и только тогда, когда x ∈ A и x ∈ B. Поэтому проверка элемента сводится к проверке его принадлежности каждому из исходных множеств.

В разности A \ B сначала рассматривают только элементы A, а затем исключают те из них, которые входят в B. Значит, условие принадлежности записывается так: x ∈ A и x ∉ B. Пересечение, наоборот, сохраняет элементы, удовлетворяющие обоим условиям принадлежности; разность оставляет элементы одного множества после исключения части. Именно поэтому A \ B и B \ A могут дать разные наборы.

Дополнение A зависит от того, какие элементы разрешено рассматривать: выбирают универсальное множество U, а затем оставляют в нём всё, что не входит в A. Его условие — x ∈ U и x ∉ A, поэтому один и тот же набор A может иметь разные дополнения при разных U. Например, дополнение чётных чисел среди целых будет одним, а среди натуральных — другим. Без заданного U выражение «все элементы, не входящие в A» не определяет конкретное множество.

На диаграммах Эйлера—Венна множества изображают замкнутыми областями, а элементы или части областей показывают внутри них. Для объединения выделяют область хотя бы одного множества, для пересечения — общую часть, для разности — часть первого круга вне второго. Диаграмма помогает проверить, не потеряны ли общие элементы и соблюдён ли порядок в разности. Однако при работе с бесконечными множествами она иллюстрирует правило, а не заменяет доказательство.

Основные операции над множествами

Пользуйтесь таблицей как проверкой: сначала прочитайте условие принадлежности, затем решите, подходит ли каждый элемент. Для дополнения обязательно найдите в условии универсальное множество U. В разности порядок множеств сохраняйте: A \ B начинается с элементов A.

Разбор задач

Задача 1. Даны A = {1, 2, 3, 4} и B = {3, 4, 5}. Найдите A ∪ B и A ∩ B. Сначала объединим наборы, не повторяя одинаковые элементы, затем отдельно выделим те числа, которые встретились в обоих наборах.

1. Для A ∪ B берём 1 и 2 из A, 3 и 4 — они уже записаны, — затем добавляем 5 из B. Повторы не записываем, потому что множество определяется элементами, а не количеством их появлений.
2. Для A ∩ B проверяем общие элементы: 3 и 4 есть и в A, и в B. Числа 1, 2 и 5 встречаются только в одном наборе, поэтому в пересечение не входят.

Ответ: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}, A ∩ B = {3, 4}. Пересечение оказалось частью объединения, поскольку общие элементы также принадлежат каждому из исходных множеств.

Задача 2. Даны A = {−2, −1, 0, 1, 2} и B = {0, 1, 2, 3}. Найдите A \ B и B \ A. Здесь важно не искать общие элементы: нужно оставить в первом случае только элементы A вне B, а во втором — элементы B вне A.

1. Проверяем элементы A: числа 0, 1 и 2 принадлежат B, поэтому исключаем их; −2 и −1 в B отсутствуют. Значит, A \ B = {−2, −1}.
2. Теперь проверяем элементы B относительно A: 0, 1 и 2 есть в A, а 3 нет. Поэтому из B остаётся только 3, и B \ A = {3}.

Ответ: A \ B = {−2, −1}, B \ A = {3}. Результаты различаются, потому что в каждой разности своё исходное множество.

Задача 3. U — целые числа от −3 до 4 включительно, A — чётные числа из U, B — числа из U, большие нуля. Найдите (A ∪ B)\(A ∩ B) и изобразите результат диаграммой. Сначала выпишем множества внутри заданных границ, чтобы не включить числа вне U.

1. Перечисляем элементы: A = {−2, 0, 2, 4}, B = {1, 2, 3, 4}. Тогда A ∪ B = {−2, 0, 1, 2, 3, 4}, а общие элементы дают A ∩ B = {2, 4}.
2. Вычитаем из объединения пересечение: удаляем 2 и 4, оставляя элементы, которые попали ровно в одно из множеств. На диаграмме Венна следует выделить части кругов A и B вне их общей области.

Ответ: (A ∪ B)\(A ∩ B) = {−2, 0, 1, 3}. Все найденные числа принадлежат U; числа 2 и 4 исключены как общие, а −3 не попало в результат, поскольку не принадлежит ни A, ни B.

Типичные ошибки

Путают принадлежность элемента и включение множеств: x ∈ A относится к одному элементу, а A ⊂ B — к двум множествам. Это происходит из-за похожих символов и слов «входит» и «принадлежит». Проверьте запись вопросом: сравниваются элемент с множеством или одно множество с другим?

В объединение иногда записывают только общие элементы, смешивая его с пересечением. Причина — оба действия рассматривают сразу два множества, но правила у них разные. Для проверки спросите, достаточно ли элементу входить хотя бы в одно множество: если да, он входит в объединение.

Считают A \ B и B \ A одинаковыми, хотя разность зависит от порядка. Такая ошибка появляется, когда замечают только, какие элементы исключаются, и забывают, из какого набора их вычитают. Выпишите условие x ∈ A и x ∉ B, а затем замените A и B местами для второй разности.

Дополнение ищут без указания универсального множества. Кажется, что нужно просто перечислить всё, чего нет в A, но без границ такого перечня может быть бесконечно много вариантов. Сверьте ответ с U: каждый элемент дополнения должен принадлежать U и не принадлежать A.

Связь с другими темами

Для работы с множествами полезно знать числовые множества, уметь сравнивать числа и читать условия, которым должны удовлетворять элементы. Операции над множествами помогают описывать области определения функций и множества решений уравнений и неравенств. Условия принадлежности связывают эту тему с логикой: объединению соответствует «или», пересечению — «и», а дополнению и разности — исключение, то есть «не». Эти связи позволяют переводить словесное условие в точную запись.

Что запомнить

• A ∪ B содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств.
• A ∩ B содержит элементы, принадлежащие одновременно A и B.
• A \ B содержит элементы A, не принадлежащие B.
• Дополнение множества определяется относительно универсального множества.
• A = B, если каждое из множеств является подмножеством другого.
• Пустое множество является подмножеством любого множества.