§ 1. Рациональные неравенства

Определения и обозначения

Рациональное неравенство — неравенство, в котором сравниваются рациональные выражения, то есть отношения многочленов. Например, (x − 2)/(x + 1) > 0. Такая запись позволяет исследовать знак дроби, не вычисляя её значения для каждого числа.

Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения переменной, при которых знаменатели рациональных выражений не равны нулю. Она нужна, чтобы сразу исключить точки, где исходная дробь не существует. Например, для (x + 3)/(x − 5) условие ОДЗ имеет вид x ≠ 5.

Критические точки — нули числителя и знаменателя после разложения выражения на множители. Они разбивают числовую прямую на промежутки, внутри которых знак дроби не меняется. Нули знаменателя запрещены, а нули числителя могут войти в ответ.

Метод интервалов — способ решения неравенства, при котором находят критические точки и определяют знак выражения на каждом получившемся промежутке. Он особенно удобен, когда числитель и знаменатель разложены на линейные множители. В результате ответ записывают объединением подходящих промежутков и отдельных точек.

Как это устроено

Сначала все части неравенства переносят в одну сторону, чтобы справа или слева появился нуль. Затем дроби приводят к общему знаменателю и получают выражение вида P(x)/Q(x) > 0 или P(x)/Q(x) ≤ 0. Такие преобразования должны сохранять равносильность: нельзя сокращать множитель, забыв значение, при котором исходный знаменатель равнялся нулю.

ОДЗ находят до дальнейшего анализа, потому что значение с нулевым знаменателем не является допустимым числом исходной задачи. Даже если алгебраическое преобразование позднее убирает этот знаменатель, исходное ограничение никуда не исчезает. Поэтому каждое найденное значение нужно сопоставить с ОДЗ перед записью ответа.

Нули числителя и знаменателя отмечают на числовой прямой и располагают по возрастанию. В точках, где обращается в ноль один множитель, знак может измениться; между соседними точками ни один множитель не проходит через ноль. Поэтому непрерывное рациональное выражение внутри такого промежутка не меняет знак, и достаточно исследовать его в одном месте.

Знак можно определить подстановкой любого удобного пробного числа из каждого промежутка. При другом способе отдельно отмечают знаки множителей, а затем учитывают правило: произведение чётного числа отрицательных множителей положительно, нечётного — отрицательно. После этого выбирают промежутки, соответствующие знаку неравенства, и проверяют границы.

Точки числителя включают при нестрогом знаке, потому что в них дробь равна нулю, если знаменатель не равен нулю. При строгом знаке точка числителя не подходит: требуется положительное или отрицательное значение, а не ноль. Точки знаменателя исключают всегда, даже если знак неравенства нестрогий.

Роль критических точек при решении рационального неравенства

Пользуйтесь таблицей после того, как разложили числитель и знаменатель на множители. Сначала анализируйте промежутки, затем отдельно решайте, какие граничные точки можно включить.

Разбор задач

1. Решите неравенство (x − 2)/(x + 1) > 0.

1. ОДЗ: x ≠ −1, поскольку x + 1 не должен обращаться в ноль. Нуль числителя: x = 2.
2. Отмечаем точки −1 и 2. На промежутке (−∞; −1) берём x = −2: числитель отрицателен, знаменатель отрицателен, дробь положительна.
3. На (−1; 2) берём x = 0: знаки − и + дают отрицательный результат. На (2; +∞) оба множителя положительны, поэтому знак положительный.
4. Нужно выбрать положительные промежутки. Точка 2 не включается из-за строгого знака, а −1 запрещена ОДЗ.

Ответ: (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

2. Решите неравенство (x − 3)(x + 2)/(x − 1) ≤ 0.

1. Критические точки: −2 и 3 — нули числителя, 1 — нуль знаменателя. ОДЗ: x ≠ 1.
2. В порядке возрастания получаем −2, 1, 3. Берём пробные числа: −3 даёт отрицательный знак, 0 — положительный, 2 — отрицательный, 4 — положительный.
3. Выбираем отрицательные промежутки, потому что требуется ≤ 0. Точки −2 и 3 включаем: знаменатель там ненулевой, а дробь равна нулю; точку 1 исключаем.

Ответ: (−∞; −2] ∪ (1; 3].

3. Решите неравенство (x² − 4)/(x² − 5x + 6) ≥ 0.

1. Разложим выражения: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), а x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). ОДЗ: x ≠ 2 и x ≠ 3, хотя множитель x − 2 затем сокращается в записи.
2. Критические точки исходного выражения: −2, 2 и 3. Знаки на промежутках (−∞; −2), (−2; 2), (2; 3), (3; +∞) соответственно положительный, отрицательный, отрицательный, положительный.
3. Для знака ≥ 0 берём положительные промежутки и нуль числителя −2. Точка 2 не включается, так как это также нуль знаменателя; точка 3 тоже запрещена.

Ответ: (−∞; −2] ∪ (3; +∞).

Типичные ошибки

Включают нуль знаменателя. Пустую точку на прямой иногда принимают за обычную границу подходящего промежутка. Но исходная дробь там не определена, поэтому проверьте ОДЗ и оставьте эту точку исключённой.

Исключают нуль числителя при нестрогом неравенстве. Ошибка возникает из-за привычки не включать все критические точки. Подставьте число в исходную дробь: если знаменатель не равен нулю, значение будет 0 и подойдёт для ≥ или ≤.

Забывают нули знаменателя. Если отметить только нули числителя, прямая будет разделена неправильно, а знак на промежутках окажется неверным. Перед разметкой выпишите отдельно уравнения числителя и каждого знаменателя.

Умножают на выражение неизвестного знака без смены знака неравенства. При умножении на отрицательное число направление неравенства меняется, а знак знаменателя заранее неизвестен. Разбивайте прямую на промежутки или сначала устанавливайте знак множителя.

Связь с другими темами

До решения рациональных неравенств нужно уметь находить ОДЗ дробных выражений, решать линейные и квадратные уравнения, а также раскладывать многочлены на множители. Эти навыки дают критические точки и позволяют правильно преобразовать исходную дробь.

Метод интервалов продолжает идеи исследования знака многочлена. Позднее он пригодится для более сложных неравенств, где рациональное выражение содержит несколько множителей и знаменателей.

Что запомнить

• Перед решением рационального неравенства найдите область допустимых значений.
• Критические точки — нули числителя и знаменателя.
• На каждом промежутке между критическими точками знак выражения постоянен.
• Нуль знаменателя не входит в ответ ни при каком знаке неравенства.
• Нуль числителя включают в ответ только при нестрогом неравенстве.
• После разметки критических точек проверьте знак выражения на каждом промежутке.