2.9. Рациональные неравенства

Определения и обозначения

Рациональное неравенство — неравенство, в котором левая или правая часть является рациональным выражением: например, дробью с многочленами в числителе и знаменателе. Переменная не должна принимать значения, при которых знаменатель равен нулю. Это условие нужно учитывать ещё до преобразований, чтобы не включить в ответ точки, где выражение не существует.

Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения переменной, при которых выражения неравенства определены. Для дробного выражения из ОДЗ исключают корни знаменателя, а также учитывают другие ограничения, если они есть. ОДЗ задаёт границы поиска и помогает проверить, можно ли использовать выбранное преобразование.

Критические точки для метода интервалов — нули числителя и знаменателя выражения, приведённого к одной дроби или произведению множителей. Они разбивают числовую прямую на промежутки, внутри которых знак выражения не меняется. Отметив все такие точки, проще не пропустить подходящую часть числовой прямой.

Метод интервалов — способ решения неравенства, при котором определяют знак выражения на промежутках между критическими точками. На каждом промежутке знак постоянен, поэтому достаточно проверить его в одной точке. Метод особенно удобен, когда выражение разложено на множители.

Как это устроено

Сначала неравенство приводят к виду, где в одной части стоит ноль, а в другой — одно рациональное выражение. Для этого переносят слагаемые в одну сторону, приводят дроби к общему знаменателю и, если возможно, раскладывают числитель и знаменатель на множители. Такой вид нужен потому, что знак дроби можно определить по знакам её множителей, не решая отдельные неравенства для числителя и знаменателя.

До исследования знаков находят ОДЗ: решают, при каких значениях знаменатель обращается в ноль, и исключают эти значения. Причина в том, что исходное выражение в таких точках не имеет значения, даже если после сокращения дроби знаменатель исчез. Например, сокращение общего множителя не возвращает выколотую точку в область определения исходного выражения.

Затем находят критические точки: приравнивают к нулю числитель и знаменатель и решают полученные уравнения. Все найденные значения располагают на числовой прямой по возрастанию, не забывая отметить точки знаменателя как исключённые. Между соседними точками знак не меняется, потому что ни один множитель на таком промежутке не обращается в ноль и не меняет знак.

Чтобы определить знак на промежутке, можно выбрать любое удобное число внутри него и подставить в выражение. Если дробь уже разложена на множители, часто достаточно установить знак каждого множителя отдельно, а затем применить правило знаков произведения и частного. После проверки отмечают промежутки, где выражение положительно или отрицательно, в соответствии с условием задачи.

В ответ включают нули числителя только при нестрогом неравенстве: в такой точке дробь равна нулю, если знаменатель не равен нулю. При строгом знаке равенство нулю не подходит. Нули знаменателя не включают ни при каком знаке, потому что там выражение не определено; если корень имеет чётную кратность, знак при переходе через него сохраняется.

Роль критических точек при решении рационального неравенства

Сначала используй первые две строки, чтобы найти и отметить границы промежутков. Затем проверь знак внутри каждого промежутка и выбери подходящие по условию. Отдельно реши, включать ли граничные точки: это зависит от того, являются они нулями числителя или знаменателя и строгий ли знак задан.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство (x − 2)/(x + 1) > 0.

1. Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому ОДЗ: x ≠ −1. Нуль числителя находится из уравнения x − 2 = 0, то есть x = 2.
2. Критические точки −1 и 2 делят прямую на интервалы (−∞; −1), (−1; 2), (2; +∞). Проверим по одному числу: при x = −2 дробь положительна, при x = 0 отрицательна, при x = 3 положительна.
3. Нужно выбрать промежутки с положительным знаком. Точка −1 не входит из-за нулевого знаменателя, а точка 2 не входит из-за строгого знака >.

Ответ: (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

Задача 2. Решить неравенство (x − 3)(x + 2)/(x − 1) ≤ 0.

1. Нули числителя: x = 3 и x = −2; нуль знаменателя: x = 1, поэтому x ≠ 1. Расставим критические точки по возрастанию: −2, 1, 3.
2. На интервале (−∞; −2) берём x = −3: выражение отрицательно. При переходе через −2, корень числителя нечётной кратности, знак меняется; на (−2; 1) выражение положительно.
3. При переходе через 1 знак снова меняется, поэтому на (1; 3) выражение отрицательно. После перехода через 3 оно положительно на (3; +∞). Для условия ≤ 0 выбираем отрицательные интервалы и нули числителя.

Ответ: (−∞; −2] ∪ (1; 3]. Точку 1 исключаем, так как она обращает знаменатель в ноль.

Задача 3. Решить неравенство (x − 2)²(x + 1)/((x − 3)(x + 2)) ≥ 0.

1. Нули числителя: x = 2 кратности 2 и x = −1 кратности 1. Нули знаменателя: x = 3 и x = −2, их исключаем из ОДЗ. Порядок критических точек: −2, −1, 2, 3.
2. На (3; +∞) все множители положительны, значит, выражение положительно. При переходе через 3 знак меняется, потому что корень знаменателя имеет нечётную кратность; на (2; 3) выражение отрицательно.
3. В точке 2 кратность чётная, поэтому при переходе через неё знак сохраняется: на (−1; 2) выражение тоже отрицательно. Через −1 знак меняется, а через −2 меняется ещё раз; значит, выражение положительно на (−2; −1) и (−∞; −2).
4. Выбираем положительные интервалы и включаем нули числителя −1 и 2, поскольку неравенство нестрогое. Точки −2 и 3 остаются исключёнными, так как являются нулями знаменателя.

Ответ: (−∞; −2) ∪ (−2; −1] ∪ {2} ∪ (3; +∞). Точка 2 включена как нуль числителя, хотя рядом знак выражения отрицателен.

Типичные ошибки

Нуль знаменателя иногда включают в ответ, потому что считают его обычной критической точкой. Но в этой точке выражение не определено, поэтому она исключается независимо от знака неравенства. Проверь себя: подставь предполагаемое значение в исходную дробь и убедись, что знаменатель не равен нулю.

Другая ошибка — включить нули числителя при строгом знаке или исключить их при нестрогом. Это происходит, когда проверяют только знаки промежутков и забывают отдельно рассмотреть граничные точки. Сверь знак в условии: при < и > равенство нулю не подходит, при ≤ и ≥ подходит, если точка не запрещена ОДЗ.

Если отметить только нули числителя, прямая будет разбита неверно: знак может меняться и при прохождении через нуль знаменателя. Поэтому сначала выпиши корни обоих многочленов, а затем проверь, что каждая найденная критическая точка отмечена на прямой. Сравни их количество с количеством границ в таблице знаков.

Не всякая критическая точка меняет знак выражения: это зависит от кратности корня. Ошибка возникает, если при построении знаков механически чередовать плюсы и минусы. Разложи выражение на множители и смотри на степень множителя: при чётной кратности знак сохраняется, при нечётной меняется.

Связь с другими темами

Для решения рациональных неравенств нужны умения находить область определения дробных выражений, решать уравнения и раскладывать многочлены на множители. Метод интервалов опирается на свойства знаков произведения и частного, а также на расположение корней на числовой прямой. Эти неравенства встречаются при решении систем и помогают находить область определения функций.

Что запомнить

• Сначала найди область допустимых значений.
• Критические точки — нули числителя и знаменателя.
• Нули знаменателя всегда исключают из ответа.
• Нули числителя включают только при нестрогом неравенстве.
• Знак выражения проверяют на каждом промежутке между критическими точками.
• При корне чётной кратности знак при переходе через точку не меняется.