"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Нестрогое неравенство сравнивает два выражения и допускает не только их различие, но и равенство. Знаки ≤ и ≥ объединяют строгий случай со случаем равенства, поэтому граничные значения входят в ответ. При преобразованиях сохраняют или меняют знак по определённым правилам: сложение и умножение на положительное число знак не меняют, а умножение на отрицательное меняет.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Нестрогое неравенство — это сравнение двух выражений, при котором равенство тоже допускается. Например, запись a ≤ b объединяет случаи, когда a меньше b, и когда a равно b. Такое понятие нужно, чтобы описывать ограничения, включающие границу.
Знак ≤ читают как меньше или равно. Запись a ≤ b означает, что выполняется a < b или a = b. Этот знак используют, когда левая часть не превышает правую.
Знак ≥ читают как больше или равно. Запись a ≥ b означает, что a > b или a = b. Он показывает, что левая часть не меньше правой и может совпадать с ней.
Решение неравенства — значение переменной, при котором неравенство становится верным. Обычно таких значений не одно, а целое множество, например все числа, не превосходящие 8. Поэтому ответ часто записывают промежутком или изображают на прямой.
Нестрогое неравенство можно рассматривать как объединение двух условий. Запись a ≤ b равносильна совокупности случаев a < b и a = b, а запись a ≥ b — случаев a > b и a = b. Равносильность означает, что обе записи имеют один и тот же набор решений.
На числовой прямой граница входит в множество решений, если используется ≤ или ≥. Поэтому граничное число отмечают закрашенной точкой, а подходящую сторону прямой выделяют лучом или отрезком. Пустой кружок применяют только тогда, когда граница не входит, то есть при строгих знаках.
Прибавление одного и того же числа к обеим частям сохраняет знак, потому что обе точки на числовой прямой сдвигаются на одинаковое расстояние и их порядок не меняется. То же относится к вычитанию: это прибавление противоположного числа. Например, из x − 3 ≤ 5 можно прибавить 3 к обеим частям и получить x ≤ 8.
Умножение или деление на положительное число растягивает или сжимает расстояния, но не меняет порядок чисел. Отрицательное число дополнительно отражает точки относительно нуля, поэтому порядок становится обратным и знак меняется на противоположный. Деление на ноль невозможно, а при умножении на выражение с переменной сначала нужно выяснить, положительно оно, отрицательно или равно нулю.
При решении неравенства каждое преобразование должно сохранять равносильность, то есть не добавлять лишних решений и не терять верных. Сначала упрощают выражения, затем переносят слагаемые и изолируют переменную. После получения ответа полезно подставить подходящее число из промежутка и, если есть граница, проверить её отдельно.
| Действие с обеими частями | Условие | Результат для знака |
|---|---|---|
| Прибавление одного и того же числа | Любое число | Знак сохраняется |
| Вычитание одного и того же числа | Любое число | Знак сохраняется |
| Умножение или деление на положительное число | Число больше нуля | Знак сохраняется |
| Умножение или деление на отрицательное число | Число меньше нуля | Знак меняется на противоположный |
| Умножение или деление на ноль | Число равно нулю | Деление запрещено; обратимость не сохраняется |
Пользуйтесь таблицей как проверочным алгоритмом: сначала определите действие и знак числа, затем решите, сохранять ли знак. Для деления особенно внимательно контролируйте, не является ли делитель отрицательным или нулевым.
Если множитель содержит переменную и его знак неизвестен, применяйте правило только после разбора возможных случаев. Иначе одна запись может привести к неверному множеству решений.
Задача 1. Решить неравенство x − 3 ≤ 5 и изобразить множество решений на числовой прямой. Нужно освободить переменную от вычитания 3, не изменив порядок сравнения.
Ответ: x ≤ 8, или промежуток (−∞; 8].
Задача 2. Решить неравенство −2x ≥ 6. Переменную изолируем делением на коэффициент −2, поэтому заранее отмечаем, что он отрицателен.
Ответ: x ≤ −3, или промежуток (−∞; −3]. Проверка: при x = −4 левая часть равна 8, а 8 ≥ 6.
Задача 3. Решить неравенство 3(2x − 1) ≤ 5x + 4. Сначала раскроем скобки и соберём неизвестные, чтобы понять знак коэффициента перед x.
Ответ: x ≤ 7, или промежуток (−∞; 7].
Считать ≤ равнозначным <. Так теряют случай равенства и ошибочно исключают границу. Проверьте себя подстановкой граничного значения: если части равны, оно должно остаться в ответе.
Не менять знак при делении на отрицательное число. Ошибка возникает по привычке переносить правило сложения на умножение. Можно проверить результат конкретным числом: умножение на отрицательное меняет порядок точек на прямой.
Умножать на выражение с неизвестным знаком. Если знак множителя не установлен, неизвестно, сохранять знак или менять его. Разберите случаи положительного, отрицательного и нулевого значения выражения.
Ставить пустой кружок на границе. Так изображают строгие неравенства, а не знаки ≤ и ≥. Сверьте символ в исходной записи: черта под знаком означает закрашенную точку.
До изучения темы нужны навыки сравнения чисел, знание свойств числовых неравенств и умение изображать числа и промежутки на координатной прямой. Эти знания объясняют, почему одни преобразования сохраняют порядок, а другие обращают его.
Нестрогие неравенства применяются при решении линейных и квадратных неравенств, систем неравенств и при записи ограничений на переменные. Знак равенства на границе особенно важен при описании допустимых значений и областей решений.
Чем нестрогое неравенство отличается от строгого?
Строгое неравенство использует знаки < или > и не допускает равенства частей. Нестрогое неравенство использует ≤ или ≥, поэтому равенство тоже считается допустимым.
Почему при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется?
Умножение чисел на отрицательное число меняет их порядок на числовой прямой: например, из 2 < 5 получается −4 > −10. Поэтому при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак обращается.
Как изобразить на числовой прямой решение нестрогого неравенства?
Сначала отмечают граничное значение. Его обозначают закрашенной точкой, а затем выделяют луч или промежуток, соответствующий решениям.
Входит ли граничное значение в ответ при знаках ≤ и ≥?
Да, входит. Символ под чертой означает возможность равенства, поэтому граница отмечается закрашенной точкой и включается в промежуток решений.
Можно ли умножать обе части неравенства на выражение с переменной?
Можно только после определения знака этого выражения. Если оно положительно, знак сохраняется, если отрицательно — меняется, а при нулевом значении такое преобразование нельзя выполнять как обратимое.
2.10. Нестрогие неравенства
