§ 3. Нестрогие неравенства

Определения и обозначения

Нестрогое неравенство — сравнение двух чисел или выражений, при котором допускается их равенство. Его записывают знаками ≤ и ≥. Такие записи нужны, когда важно включить в сравнение не только значения строго меньше или больше границы, но и саму границу.

Знак «меньше или равно» (≤) означает, что первое число меньше второго или равно ему. Например, 3 ≤ 5 и 4 ≤ 4 — верные записи. Знак удобен, когда описывают все значения, которые не превышают заданное число.

Знак «больше или равно» (≥) означает, что первое число больше второго или равно ему. Так, 7 ≥ 2 и 6 ≥ 6 — верные записи. Этот знак помогает указать значения, которые не меньше выбранной границы.

Числовое неравенство — верное неравенство, в котором сравниваются конкретные числа. Например, 8 ≥ 1 — числовое неравенство, потому что оно утверждает верное сравнение чисел 8 и 1. Понятие помогает отличать проверяемые числовые записи от неравенств с переменными.

Как это устроено

Запись a ≤ b объединяет два возможных случая: a < b и a = b. Иначе говоря, достаточно, чтобы a было меньше b или совпадало с ним; третьего варианта знак не требует. По той же причине a ≥ b означает a > b или a = b. Слова «или равно» нельзя считать украшением: без них равный границе случай был бы исключён.

Если строгое неравенство верно, его можно записать и как нестрогое в том же направлении: из 2 < 5 следует 2 ≤ 5. Это возможно потому, что знак ≤ допускает случай «меньше», а также равенство. Если же числа равны, например 4 = 4, то одновременно верны 4 ≤ 4 и 4 ≥ 4. Поэтому равенство подходит обеим нестрогим записям, но только одной из них — в зависимости от того, какая сторона стоит первой.

На числовой прямой нестрогое неравенство задаёт границу и множество подходящих значений. Например, x ≤ 3 включает число 3 и все числа левее него. Граничную точку отмечают закрашенной, потому что она тоже подходит; незакрашенная точка означала бы, что граница исключена, как в строгом неравенстве x < 3. Так изображение сразу показывает, какие числа входят в ответ.

Нестрогие неравенства обладают свойством транзитивности: если a ≤ b и b ≤ c, то a ≤ c. Действительно, a не больше b, а b не больше c, поэтому a не может оказаться больше c. Если в одной из частей есть равенство, порядок всё равно сохраняется: например, при a = b и b ≤ c получаем a ≤ c. Это свойство позволяет сравнивать крайние числа цепочки, даже если они не стоят рядом.

Нестрогие неравенства можно складывать почленно, если знаки направлены одинаково: из a ≤ b и c ≤ d следует a + c ≤ b + d. При прибавлении одного и того же числа к обеим частям направление тоже сохраняется, потому что расстояние между числами не меняет их порядка. Умножение или деление на положительное число также сохраняет порядок. Отрицательное число меняет порядок на противоположный: например, из 2 ≤ 5 при умножении на −1 получается −2 ≥ −5, поэтому знак обязательно переворачивают.

Знаки нестрогих неравенств

Чтобы выбрать знак, сравни числа слева направо: сначала определи, меньше первое число или больше. Затем проверь, возможен ли случай равенства — для знаков ≤ и ≥ он допускается. Примеры в таблице показывают и строгий случай, и случай равных чисел.

Разбор задач

Задача. Сравните числа 2 и 5, записав результат с помощью знака ≤. Нужно проверить, меньше ли первое число второго. Поскольку знак ≤ допускает строгий случай, равенство чисел для записи не требуется.

1. Сравним числа: на числовой прямой 2 расположено левее 5, значит, 2 < 5. Это подтверждает, что первое число меньше второго. Равными числа не являются.
2. Запишем сравнение знаком «меньше или равно»: 2 ≤ 5. Такая запись верна, потому что знак включает случай, когда первое число меньше второго. Проверка: утверждение 2 < 5 уже верно.

Ответ: 2 ≤ 5.

Задача. Известно, что x ≤ 4. Верно ли, что x + 3 ≤ 7? Здесь к левой части исходного неравенства прибавили 3, поэтому для сравнения нужно прибавить то же число и к правой части. Это сохраняет порядок чисел.

1. Начнём с условия x ≤ 4. Оно говорит, что x меньше четырёх или равен четырём. Прибавим к обеим частям одно и то же число 3.
2. Получим x + 3 ≤ 4 + 3. Направление знака не меняется, потому что прибавление одинакового числа не меняет порядок сравниваемых значений. Вычислим правую часть: 4 + 3 = 7.
3. Итак, получаем x + 3 ≤ 7. Это верно при любом x, удовлетворяющем исходному условию, включая случай x = 4. Значит, в вопросе нужно ответить утвердительно.

Ответ: да, x + 3 ≤ 7.

Задача. Известно, что −2 ≤ 3. Умножьте обе части на −4 и запишите полученное неравенство. Множитель отрицательный, а значит, после умножения порядок чисел изменится. Поэтому нельзя просто оставить знак ≤ без изменения.

1. Умножим левую часть на −4: (−2) · (−4) = 8. Умножим правую часть на −4: 3 · (−4) = −12. При умножении двух чисел вычисления выполняются отдельно для каждой части.
2. Так как множитель −4 отрицательный, заменим знак ≤ на противоположный знак ≥. Полученная запись — 8 ≥ −12. Она верна: положительное число 8 больше отрицательного числа −12.

Ответ: 8 ≥ −12.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что a ≤ b означает только a < b. Так забывают, что слова «или равно» включают равные значения, потому что в разговорной записи внимание часто сосредоточено на слове «меньше». Проверь себя на простом примере: 4 ≤ 4 верно, а 4 < 4 — неверно. Значит, случай равенства нужно учитывать.

Ошибка — путать знаки ≤ и ≥, не проверяя направление сравнения. Их легко перепутать из-за похожего вида, особенно если смотреть на знак отдельно от чисел. Сначала произнеси сравнение словами: если первое число не больше второго, ставь ≤; если не меньше — ≥. Для проверки подставь простые числа, например 2 и 5.

Ошибка — при умножении или делении на отрицательное число оставлять знак прежним. Так происходит, если помнить о вычислении частей, но забыть, что отрицательное число переворачивает порядок. Проверь результат на числах: из 2 ≤ 5 при умножении на −1 получается −2 ≥ −5. Если знак не изменён, сравни результат по числовой прямой.

Ошибка — делать вывод о сравнении чисел по отдельным частям записи, не учитывая всю цепочку и направление знаков. Например, из a ≤ b и b ≤ c важно заключить именно a ≤ c, а не сравнивать крайние числа наугад. Такая ошибка возникает, когда теряется смысл каждого знака по отдельности. Прочитай цепочку словами: первое число не больше второго, второе не больше третьего, значит, первое не больше третьего.

Связь с другими темами

Перед изучением нестрогих неравенств нужно уметь сравнивать числа и пользоваться знаками <, > и =. Эти знания помогают определить направление сравнения, а знаки ≤ и ≥ добавляют к нему возможность равенства. Поэтому при выборе записи сначала полезно понять, какое число меньше.

Нестрогие неравенства применяются при записи промежутков и множеств решений: закрашенная граница показывает, что граничное значение включено. Это позволяет точно описывать все подходящие числа, а не только одно значение. Те же записи встречаются в задачах, где нужно указать верхнюю или нижнюю границу величины.

Свойства неравенств нужны при преобразовании и решении неравенств. С их помощью можно прибавлять одинаковые числа или умножать обе части, сохраняя равносильное сравнение. При действиях с отрицательным числом необходимо изменить направление знака, иначе полученное условие будет неверным.

Что запомнить

• a ≤ b означает a < b или a = b.
• a ≥ b означает a > b или a = b.
• При прибавлении одного и того же числа знак неравенства сохраняется.
• При умножении или делении на положительное число знак сохраняется.
• При умножении или делении на отрицательное число знак меняется на противоположный.
• Если a ≤ b и b ≤ c, то a ≤ c.