"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Преобразование неравенства помогает упростить запись и найти все значения переменной, которые делают её верной. Для этого к обеим частям прибавляют или вычитают одно и то же число, а также умножают или делят их на одно и то же число. При действиях с положительным числом знак сохраняется, с отрицательным — меняется на противоположный. Главное — не потерять и не добавить решения: новое неравенство должно быть равносильно исходному.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равносильные неравенства — это неравенства с одинаковыми решениями. Решением неравенства с переменной называют значение, при котором оно становится верным. Равносильность нужна, чтобы заменять исходную запись более простой и быть уверенным: подходящие значения не потерялись, а лишние не появились.
Преобразование неравенства — замена неравенства равносильным ему с помощью допустимого действия над обеими частями. Части неравенства — выражения слева и справа от знака сравнения. Такое преобразование помогает постепенно упростить запись и оставить переменную отдельно.
Свойство сложения неравенства говорит: если прибавить или вычесть одно и то же число из обеих частей, знак неравенства не изменится. Например, из x + 2 > 5 можно получить x > 3, вычтя 2 с обеих сторон. Это свойство позволяет убрать слагаемое, мешающее найти переменную.
Свойство умножения неравенства: если умножить или разделить обе части на положительное число, знак сохраняется, а на отрицательное — меняется на противоположный. Например, при делении на −2 знак > станет знаком <. Это правило нужно, чтобы избавиться от коэффициента при переменной и не изменить множество решений.
Равносильность нужна потому, что при решении мы заменяем исходное неравенство более удобными записями. Каждая такая замена должна сохранять все значения переменной, при которых исходное неравенство верно. Если хотя бы одно решение исчезнет или появится новое, ответ окажется неправильным. Поэтому перед преобразованием важно понимать, какое действие выполняется и при каких условиях оно допустимо.
Пусть a < b, то есть число a расположено левее b на числовой прямой. Если прибавить к обоим числам одно и то же число c, они одинаково сдвинутся вправо при c > 0 или влево при c < 0. Их порядок не изменится, значит, a + c < b + c. Вычитание числа можно считать прибавлением противоположного: вычесть c — то же самое, что прибавить −c, поэтому знак также остаётся прежним.
При умножении на положительное число порядок сохраняется: расстояние от нуля увеличивается, но меньшим остаётся то число, которое было меньше. Например, из 2 < 5 следует 2 · 3 < 5 · 3. Деление на положительное число действует так же, поскольку его можно рассматривать как умножение на положительное число, обратное делителю. Поэтому знак неравенства при таких действиях оставляют прежним.
Отрицательное число направляет числа на числовой прямой в противоположную сторону от нуля. При умножении на −1 числа меняются местами относительно нуля: если 2 < 5, то −2 > −5. Умножение на любое отрицательное число состоит из такого изменения направления и растяжения или сжатия, поэтому знак обязательно меняют на противоположный. При делении на отрицательное число действует та же причина, ведь деление можно заменить умножением на отрицательное обратное число.
Правила применяют по очереди, чтобы оставить переменную в одной части, а обычные числа — в другой. Сначала можно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, затем убрать слагаемые с переменной из одной части прибавлением противоположных чисел. После этого коэффициент при переменной устраняют делением; если он отрицательный, знак переворачивают. Так получают простое неравенство, по которому легко определить подходящие значения переменной.
| Действие с обеими частями | Условие | Что происходит со знаком | Пример |
|---|---|---|---|
| Прибавить одно и то же число | Любое число | Сохраняется | 2 < 5 → 2 + 3 < 5 + 3 |
| Вычесть одно и то же число | Любое число | Сохраняется | 7 > 4 → 7 − 2 > 4 − 2 |
| Умножить или разделить на положительное число | Число больше нуля | Сохраняется | 2 < 5 → 2 · 3 < 5 · 3 |
| Умножить или разделить на отрицательное число | Число меньше нуля | Меняется на противоположный | 2 < 5 → 2 · (−1) > 5 · (−1) |
Перед преобразованием найди в таблице нужное действие и проверь условие: особенно важно знать знак множителя или делителя. Затем выполни действие сразу с обеими частями и при необходимости переверни знак. Делить на ноль нельзя.
Задача 1. Решить неравенство x − 4 > 2. Здесь к x прибавлено −4, поэтому удобно убрать это слагаемое. Для этого прибавим 4 к обеим частям; знак при таком действии не меняется. После упрощения получим значение, больше которого должна быть переменная.
Ответ: x > 6. Проверка показывает, что любое число больше 6 подходит, например x = 7: 7 − 4 > 2, то есть 3 > 2. Значение x = 6 не подходит, потому что получится 2 > 2 — неверное утверждение.
Задача 2. Решить неравенство −3x ≤ 12. Переменная умножена на −3, поэтому нужно разделить обе части на это число. Делитель отрицательный, значит, при делении знак ≤ заменим на ≥. Это изменение необходимо, чтобы сохранить те же решения.
Ответ: x ≥ −4. Проверим граничное значение: при x = −4 получаем 12 ≤ 12, это верно. Если взять, например, x = 0, исходное неравенство тоже верно, и 0 действительно не меньше −4.
Задача 3. Решить неравенство 2(x − 3) + 1 < x + 5. Сначала раскроем скобки, чтобы увидеть слагаемые с переменной и числа. Затем соберём переменные слева, а числа справа, выполняя одинаковые действия с обеими частями. В конце разделим на коэффициент при x и проверим его знак.
Ответ: x < 10. Коэффициент при переменной после упрощения равен 1, он положительный, поэтому знак остался прежним. Подстановка x = 0 даёт −5 < 5, а это верно.
При умножении или делении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Ошибка возникает, если помнить о действии с числами, но забыть, что их порядок на числовой прямой меняется. Перед таким шагом отметь знак множителя или делителя и переверни знак неравенства. Для самопроверки сравни, например, −2 и −5: −2 больше −5, хотя 2 меньше 5.
Другая ошибка — менять знак при прибавлении или вычитании одного и того же числа. Такое правило путают с действием на отрицательное число, но прибавление сохраняет порядок при любом слагаемом. Чтобы проверить себя, представь оба числа на прямой: одинаковый сдвиг не меняет, какое из них левее. В записи знак неравенства в этом случае остаётся прежним.
Нельзя без проверки умножать обе части на выражение с переменной. Его знак может зависеть от значения переменной, поэтому в одних случаях знак неравенства надо сохранить, а в других — поменять. Сначала нужно установить, где выражение положительно, отрицательно или равно нулю. Если знак неизвестен, такое умножение не является безопасным преобразованием.
При переносе слагаемого через знак сравнения меняют знак самого слагаемого, но не знак неравенства. Перенос — короткая запись прибавления противоположного числа к обеим частям, а сложение не меняет порядок. Чтобы проверить шаг, выпиши прибавление или вычитание явно. Если при этом не выполнялось умножение или деление на отрицательное число, знак неравенства переворачивать не нужно.
Для преобразования неравенств нужно уверенно сравнивать числа и выполнять действия с положительными и отрицательными числами. Также пригодится раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Эти умения позволяют упростить запись до того, как начинать выделять переменную.
Преобразования используют при решении линейных неравенств — неравенств, в которых переменная входит в первой степени. После решения ответ можно изобразить на числовой прямой, отмечая подходящие значения. Каждое допустимое действие помогает получить более простую запись того же множества решений.
Тема похожа на преобразования уравнений: над обеими частями выполняют одинаковые действия, чтобы выделить неизвестную. Но в неравенстве порядок чисел имеет значение, поэтому при делении или умножении на отрицательное число знак нужно менять. Это отличие особенно важно учитывать в конце решения.
Почему при делении на отрицательное число знак неравенства меняется?
Умножение или деление на отрицательное число меняет порядок чисел: например, 2 > 1, но −2 < −1. Поэтому знак неравенства нужно заменить на противоположный.
Нужно ли менять знак неравенства, если прибавить одно и то же число к обеим частям?
Нет, знак сохраняется. Прибавление одного и того же числа сдвигает оба числа на одинаковое расстояние и не меняет их порядок.
Можно ли умножать обе части неравенства на выражение с переменной?
Только если известно, положительно это выражение или отрицательно. Если его знак неизвестен, преобразование может изменить знак неравенства по-разному при разных значениях переменной.
Какие неравенства называют равносильными?
Равносильными называют неравенства с одинаковыми решениями. При решении одно можно заменить другим, если ни одно решение исходного неравенства не потеряно и новых решений не появилось.
Как проверить, что преобразование неравенства выполнено правильно?
Проверь, какое действие выполнено с обеими частями и нужно ли было менять знак. Можно также подставить подходящие значения из найденного ответа в исходное неравенство и убедиться, что оно верно.
§ 2. Преобразование неравенств
