§ 1. Свойства числовых неравенств

Определения и обозначения

Числовое неравенство — это сравнение двух чисел с помощью знаков <, >, ≤ или ≥. Знаки < и > называют строгими: например, запись 3 < 7 означает, что 3 меньше 7 и числа не равны. Знаки ≤ и ≥ нестрогие: 3 ≤ 3 верно, потому что допускается равенство.

Одноимённые неравенства — это неравенства с одинаковым знаком сравнения, то есть оба направлены в одну сторону: a < b и c < d. Такое название нужно, чтобы отличать их от неравенств, которые нельзя объединять одним и тем же способом. Например, одноимённые неравенства можно складывать почленно.

Противоположные неравенства имеют противоположные знаки сравнения: например, a < b и c > d. Это означает, что в одном сравнении левая часть меньше правой, а в другом — больше. Различать такие неравенства полезно перед преобразованием: правила для одноимённых неравенств нельзя применять к ним без дополнительного обоснования.

Как это устроено

На координатной прямой числа расположены слева направо от меньших к большим. Если к каждому из двух чисел прибавить одно и то же число, обе точки сдвинутся на одинаковое расстояние и порядок между ними сохранится. Поэтому из a < b следует a + c < b + c при любом c; это верно и тогда, когда c отрицательно.

Умножение на положительное число растягивает расстояния от нуля, но не отражает точки на другую сторону. Число, которое было левее, остаётся левее, поэтому знак сравнения сохраняется: если a < b и c > 0, то ac < bc. Деление на положительное число действует так же, поскольку его можно представить как умножение на положительное число, обратное делителю.

При умножении на отрицательное число точки отражаются относительно нуля: положительные переходят в отрицательные, а отрицательные — в положительные. При отражении порядок меняется на обратный: например, 2 < 5, но −2 > −5. Поэтому при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства обязательно меняют на противоположный.

При сложении одноимённых неравенств складывают левые части между собой и правые — между собой. Причину можно увидеть через разности: если a < b, то b − a положительно, и если c < d, то d − c тоже положительно; сумма этих разностей положительна. Значит, (b + d) − (a + c) > 0 и a + c < b + d.

Почленное умножение устроено иначе: если 0 ≤ a < b и 0 ≤ c < d, то сначала можно умножить a < b на неотрицательное c, а затем сравнить bc и bd. В итоге ac < bc < bd, значит, ac < bd. Условие о неотрицательности необходимо: например, −3 < −2 и −3 < −2, но произведение левых частей 9 больше произведения правых частей 4, так что прежний знак не сохраняется.

Основные свойства числовых неравенств

Пользуясь таблицей, сначала найди действие, которое нужно выполнить, а затем проверь условие для него. Особенно внимательно проверяй знак числа при умножении и делении, а при умножении неравенств — знаки всех членов.

Разбор задач

Задача 1. Известно, что 3 < 7. Получить неравенство, прибавив к обеим частям число −5. Нужно выполнить одно и то же действие с обеими частями, поэтому направление сравнения менять не потребуется.

1. Записываем исходное сравнение: 3 < 7.
2. Прибавляем −5 слева и справа: 3 + (−5) < 7 + (−5).
3. Вычисляем: −2 < 2. Порядок сохранился, хотя прибавляли отрицательное число.

Ответ: −2 < 2.

Задача 2. Из неравенства −4 < 6 получить сравнение после умножения обеих частей на −2. Здесь важно до вычислений определить знак множителя: −2 отрицательное, значит, знак сравнения нужно перевернуть.

1. Записываем действие с обеими частями: (−4) · (−2) и 6 · (−2).
2. Меняем < на >, потому что умножаем на отрицательное число.
3. Вычисляем произведения: 8 > −12. Полученное сравнение можно проверить по координатной прямой: 8 действительно правее −12.

Ответ: 8 > −12.

Задача 3. Даны 2 < a < 5 и 1 < b < 3. Найти границы для a + b и ab. В обоих случаях пригодятся нижние и верхние границы чисел, а перед умножением проверим, что все они положительны.

1. Для суммы складываем нижние границы и отдельно верхние: 2 + 1 < a + b < 5 + 3.
2. Получаем 3 < a + b < 8. Здесь использованы одноимённые сравнения и сложение соответствующих частей.
3. Для произведения замечаем, что a и b больше нуля, как и границы 2, 5, 1 и 3. Поэтому можно умножить нижние границы и верхние границы: 2 · 1 < ab < 5 · 3.
4. Вычисляем крайние значения: 2 < ab < 15.

Ответ: 3 < a + b < 8; 2 < ab < 15.

Типичные ошибки

Оставляют прежний знак при умножении на отрицательное число. Ошибка возникает, если помнить только о вычислении произведений и забыть о смене порядка. Проверь себя, сначала определив знак множителя: при отрицательном числе знак сравнения надо перевернуть. Например, из 2 < 5 следует −2 > −5.

Меняют знак при умножении на положительное число. Иногда правило о смене знака ошибочно применяют ко всем множителям. Положительное число сохраняет порядок, потому что не отражает числа относительно нуля. Для проверки умножь, например, 2 < 5 на 3: получится 6 < 15.

Складывают неравенства с разными знаками как одноимённые. Такое действие кажется естественным, если просто складывать записанные числа, но обоснование через сумму положительных разностей тогда не работает. Перед сложением сравни знаки: у обоих неравенств направление должно быть одинаковым. Если знаки разные, это свойство напрямую применять нельзя.

Перемножают неравенства, не проверив знаки членов. Умножение на отрицательное число меняет порядок, поэтому без неотрицательности членов итог может оказаться неверным. До почленного умножения убедись, что все четыре числа не меньше нуля. Для самопроверки можно проверить результат на простых отрицательных числах.

Связь с другими темами

Для работы со свойствами нужно уметь сравнивать числа, располагать их на координатной прямой и выполнять действия с положительными и отрицательными числами. Эти знания объясняют, почему прибавление сохраняет порядок, а умножение на отрицательное число его меняет. Свойства неравенств понадобятся при преобразовании и решении линейных неравенств, а также при оценке выражений, когда точное значение неизвестно, но известны его границы.

Что запомнить

• Прибавление одного и того же числа к обеим частям не меняет знак неравенства.
• Умножение или деление на положительное число сохраняет знак.
• Умножение или деление на отрицательное число меняет знак на противоположный.
• Одноимённые неравенства можно складывать почленно.
• Почленно умножать одноимённые неравенства можно при неотрицательных членах.
• Перед преобразованием проверь знак числа, на которое умножаешь или делишь.