"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Числовое неравенство сравнивает два числа, а его свойства помогают преобразовывать такое сравнение, не теряя верного порядка. Если прибавить к обеим частям одно и то же число или умножить их на положительное число, знак сохранится. При умножении на отрицательное число знак нужно перевернуть. Эти правила позволяют складывать неравенства, оценивать выражения и в дальнейшем решать линейные неравенства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое неравенство — это сравнение двух чисел с помощью знаков >, <, ≥ или ≤. Оно верно, если числа действительно расположены в указанном порядке; например, 5 > 3 верно, а 5 < 3 — нет. Знаки > и < называют строгими, а ≥ и ≤ допускают также равенство чисел. Проверка верности нужна, чтобы отличать правильное сравнение от ошибочного.
Свойство прибавления одного и того же числа говорит: если к обеим частям неравенства прибавить одинаковое число, знак неравенства сохраняется. Из a > b следует a + c > b + c. Это правило позволяет изменять обе части, например убирать или добавлять слагаемое, не нарушая сравнения.
Свойство умножения на положительное число означает, что при умножении обеих частей неравенства на число больше нуля его знак сохраняется. Если a > b и c > 0, то ac > bc. Это нужно, например, чтобы увеличить числа в несколько раз или привести выражение к удобному виду, сохранив порядок.
При умножении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Если a > b и c < 0, то ac < bc. Такое изменение обязательно, потому что отрицательное умножение меняет порядок чисел; это правило помогает верно преобразовывать неравенства с отрицательными коэффициентами.
Сравним числа на координатной прямой: большее число находится правее меньшего. Поэтому запись a > b означает, что точка a расположена правее точки b. Это наглядное представление помогает понять, почему правила преобразования неравенств сохраняют или меняют знак, а не просто запомнить их.
Прибавление одного и того же числа сдвигает каждую точку на одинаковое расстояние в одну и ту же сторону. Если к обеим частям a > b прибавить c, расстояние и порядок точек не изменятся: точка a + c останется правее точки b + c. Например, из 4 > 1 следует 4 + 6 > 1 + 6, то есть 10 > 7.
Умножение на положительное число растягивает или сжимает расстояния от нуля, но не переворачивает координатную прямую. Поэтому числа, расположенные в прежнем порядке, и после такого умножения остаются в нём. При умножении на отрицательное число происходит отражение относительно нуля: например, 4 > 1 превращается после умножения на −2 в −8 < −2, и знак меняется.
Правила действуют и для нестрогих сравнений. Если a ≥ b, то после прибавления c получится a + c ≥ b + c, а после умножения на положительное число — ac ≥ bc; при умножении на отрицательное будет ac ≤ bc. Нестрогий знак сохраняет возможность равенства, а направление знака при отрицательном множителе переворачивается так же, как при строгом.
Можно получать новое сравнение из нескольких верных неравенств. Если a > b и c > d, то складывают левые части с левыми, правые с правыми и получают a + c > b + d: обе разности положительны, значит, положительна и их сумма. А из a > b и b > c следует a > c: это транзитивность, то есть передача порядка через промежуточное число.
| Условие | Преобразование | Что происходит со знаком |
|---|---|---|
| a > b | a + c и b + c | Знак сохраняется |
| a > b, c > 0 | ac и bc | Знак сохраняется |
| a > b, c < 0 | ac и bc | Знак меняется на противоположный |
| a > b, c > d | a + c и b + d | Получаем a + c > b + d |
| a > b, b > c | Сравнение a и c | По транзитивности a > c |
В таблице приведены правила для строгих неравенств; для знаков ≥ и ≤ действуют те же принципы с учётом возможности равенства. Перед умножением или делением проверьте знак числа: положительное сохраняет направление, отрицательное его меняет. Чтобы сложить неравенства, убедитесь, что их знаки направлены одинаково.
Задача 1. Известно, что x > 4. Сравните x + 7 и 11. Нужно связать выражение x + 7 с левой частью исходного неравенства, прибавив одно и то же число к обеим частям. Так мы сохраним направление сравнения.
Ответ: x + 7 > 11.
Задача 2. Известно, что a < 3. Сравните −2a и −6. Выражение −2a получается умножением левой части на −2, а число −6 — умножением правой части на то же число. Поскольку множитель отрицательный, после умножения нужно изменить направление знака.
Ответ: −2a > −6.
Задача 3. Известно, что 2 < x < 5. Оцените выражение 3x − 4. Двойное неравенство сообщает, что x больше 2 и одновременно меньше 5. Сначала преобразуем все три части умножением на положительное число, затем одинаково уменьшим каждую часть на 4.
Ответ: 3x − 4 находится между 2 и 11, не включая границы.
При умножении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак неравенства. Ошибка возникает, если помнить только действие с частями и забыть о перемене их порядка: например, 2 > 1, но −6 < −3. После умножения проверьте знак множителя; если он отрицательный, переверните знак сравнения.
Другая ошибка — переворачивать знак при умножении или делении на положительное число. Положительный множитель не отражает координатную прямую, поэтому порядок чисел сохраняется. Для проверки возьмите простой пример: 2 > 1, значит, 2 · 3 > 1 · 3. Знак нужно менять только при отрицательном множителе.
Нельзя прибавлять к одной части одно число, а ко второй — другое, сохраняя знак по свойству прибавления. Правило работает только при одинаковом сдвиге обеих частей, иначе их разность может измениться. Перед преобразованием подпишите, что прибавляется слева и справа: выражения должны совпадать. Если они разные, это свойство применять нельзя.
При почленном сложении нельзя обращаться с неравенствами разных направлений так, будто знаки одинаковы. Например, в одном сравнении может быть знак >, а в другом — <, и тогда требуемый вывод напрямую не следует. Сначала запишите сравнения в подходящем одинаковом направлении, используя допустимые преобразования. Затем сложите левые части между собой и правые — между собой.
Для работы со свойствами нужно уметь сравнивать рациональные числа, включая отрицательные, и понимать их расположение на координатной прямой. Это помогает объяснить, почему положительное умножение сохраняет порядок, а отрицательное меняет его. Поэтому правила опираются на уже знакомое сравнение чисел, а не существуют отдельно от него.
Свойства числовых неравенств применяются при решении линейных неравенств и систем неравенств. Там приходится переносить слагаемые, умножать или делить обе части и следить за знаком коэффициента. Они также помогают оценивать выражения и сравнивать их при доказательствах.
Почему при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется?
На координатной прямой умножение на отрицательное число отражает числа относительно нуля: правое число оказывается левее. Например, 2 > 1, но после умножения на −3 получаем −6 < −3. Поэтому знак неравенства переворачивают.
Нужно ли менять знак, если обе части умножают на ноль?
Нет, знак не меняют, но строгое неравенство при этом превращается в равенство: из 5 > 2 получится 0 = 0. Поэтому умножение на ноль не сохраняет исходное сравнение и не подходит для равносильного преобразования неравенства.
Можно ли прибавить к обеим частям неравенства выражение с переменной?
Можно, если прибавить одно и то же выражение к обеим частям. Например, из a > b следует a + x > b + x при любом x. Прибавление одинакового числа или выражения не меняет разность между сравниваемыми частями.
Как складывать два неравенства почленно?
Складывают левые части между собой и правые части между собой, когда оба неравенства направлены одинаково. Например, если a > b и c > d, то a + c > b + d. Направление сохраняется, поскольку к большей части каждого сравнения прибавляется большая часть другого.
Как применить свойства к двойному неравенству?
Действие выполняют сразу над всеми тремя частями, соблюдая правила знаков. Например, из 2 < x < 5 после умножения на 3 получаем 6 < 3x < 15, а после вычитания 4 — 2 < 3x − 4 < 11. Если умножаем на отрицательное число, порядок границ нужно перевернуть.
§ 31. Свойства числовых неравенств
