Основные результаты

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями. Знаменатель не может равняться нулю, поэтому перед преобразованиями нужно определить допустимые значения переменной. Это помогает не включить в ответ значения, при которых исходное выражение не имеет смысла.

Квадратный корень из неотрицательного числа — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу. Например, √25 = 5, потому что 5² = 25, а число −5 не является значением √25. Это определение помогает различать запись корня и решение уравнения с квадратом переменной.

Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. Её график называется параболой. По формуле можно исследовать, как меняются значения функции, и находить точки, в которых её график пересекает оси координат.

Линейное неравенство — неравенство, в котором переменная входит в первой степени. Его решение — такие значения переменной, при которых неравенство становится верным. Обычно ответ записывают как промежуток или условие на переменную.

Как это устроено

У алгебраической дроби ограничения появляются из её знаменателя: делить на ноль нельзя. Поэтому сначала находят значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключают их; это и есть область допустимых значений. При сокращении общих множителей дробь упрощается, но запрет исходного знаменателя остаётся. Если решается уравнение с дробями, найденные значения проверяют в исходном уравнении: преобразования могли привести к постороннему корню.

Возведение числа в квадрат убирает знак: и положительное, и отрицательное число имеют один и тот же квадрат. Поэтому при a > 0 уравнение x² = a имеет два решения, x = √a и x = −√a, тогда как символ √a обозначает только неотрицательное число. Если a = 0, корень один — ноль, а при a < 0 действительных решений нет. Свойства корней позволяют упрощать выражения, но применять их можно только при допустимых значениях подкоренных выражений.

Коэффициент a определяет направление ветвей параболы: при a > 0 они направлены вверх, при a < 0 — вниз. Вершину находят по формулам x₀ = −b/(2a) и y₀ = f(x₀); она показывает точку минимума или максимума функции. Пересечение с осью y находится подстановкой x = 0, поэтому его координаты — (0; c). Для пересечений с осью x решают уравнение ax² + bx + c = 0: его корни, если они есть, задают нули функции.

Линейное неравенство решают так же, как уравнение: переносят слагаемые и приводят подобные, сохраняя равносильность преобразований. Равносильные преобразования сохраняют набор решений, поэтому прибавление одного и того же числа к обеим частям не меняет знак. При умножении или делении на отрицательное число порядок чисел меняется на противоположный, и знак неравенства необходимо перевернуть. В конце полезно проверить любое значение из полученного промежутка подстановкой.

Квадратное уравнение можно решать разложением на множители, выделением полного квадрата или по формуле корней. Универсальный способ связан с дискриминантом D = b² − 4ac: он показывает, можно ли извлечь действительный квадратный корень в формуле x = (−b ± √D)/(2a). Если D > 0, корней два, если D = 0 — один, а если D < 0 — действительных корней нет. После вычислений подстановка помогает проверить каждый найденный корень.

Основные результаты курса: понятия, правила и способы решения

Пользуйтесь таблицей как кратким планом решения: сначала определите тему задачи, затем выполните указанные действия. Последний столбец помогает проверить ответ и не пропустить ограничения или смену знака.

Разбор задач

Задача 1. Упростить выражение (x² − 9)/(x − 3), указать допустимые значения x и вычислить результат при x = 5. Сначала важно найти ограничения именно по исходному знаменателю, а уже затем сокращать дробь. Это сохраняет сведения о том, где выражение было определено.

1. Знаменатель x − 3 не равен нулю, значит x ≠ 3.
2. Разложим числитель: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). При x ≠ 3 дробь сокращается до x + 3.
3. При x = 5 получаем 5 + 3 = 8. Значение 5 допустимо, поскольку оно не равно 3.

Ответ: x + 3 при x ≠ 3; при x = 5 значение выражения равно 8.

Задача 2. Решить уравнение x² − 5x + 6 = 0 и проверить корни. Здесь a = 1, b = −5, c = 6, поэтому удобно начать с дискриминанта: он сразу покажет число корней и позволит применить общую формулу. Подстановка в исходное уравнение завершит проверку.

1. Вычислим D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Так как D > 0, будут два корня.
2. По формуле x = (−b ± √D)/(2a) получаем x = (5 ± 1)/2. Отсюда x₁ = 3, x₂ = 2.
3. Проверим: при x = 3 выражение равно 9 − 15 + 6 = 0; при x = 2 оно равно 4 − 10 + 6 = 0.

Ответ: 2 и 3.

Задача 3. Для функции y = x² − 4x + 3 определить вершину и пересечения с осями, затем решить неравенство x² − 4x + 3 ≤ 0. Коэффициент при x² положительный, значит ветви параболы направлены вверх; нули функции разделят числовую прямую на промежутки с разными знаками. Можно сначала найти все характерные точки, а затем использовать направление ветвей для выбора нужного промежутка.

1. Здесь a = 1, b = −4, c = 3. Абсцисса вершины x₀ = −b/(2a) = 2, а y₀ = 2² − 4 · 2 + 3 = −1, поэтому вершина — (2; −1).
2. При x = 0 получаем y = 3, значит пересечение с осью y — (0; 3). Нули: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) = 0, то есть точки (1; 0) и (3; 0).
3. Парабола направлена вверх и расположена не выше оси x между нулями, включая их. Следовательно, неравенство выполняется при 1 ≤ x ≤ 3.

Ответ: вершина (2; −1), пересечения (0; 3), (1; 0), (3; 0); решение неравенства — [1; 3].

Типичные ошибки

Сокращают алгебраическую дробь, не проверяя знаменатель. Ошибка возникает потому, что после сокращения исходное ограничение перестаёт быть заметным; например, (x − 3) можно сократить, но x = 3 всё равно запрещено. Перед упрощением найдите нули каждого исходного знаменателя и запишите ОДЗ. После решения уравнения проверьте, что найденные корни ей удовлетворяют.

Считают, что √a может быть отрицательным, смешивая корень и решение уравнения x² = a. Причина — у двух чисел √a и −√a при возведении в квадрат получается одно и то же a, но знак корня по определению неотрицательный. Проверяйте, о чём спрашивают: значение √a или все решения уравнения. При a > 0 в уравнении указывайте оба корня, а в выражении с корнем — только арифметический.

При умножении или делении неравенства на отрицательное число оставляют прежний знак. Так происходит, когда правило переносят с уравнений, где знак равенства не меняется. Перед действием проверьте знак множителя или делителя; если он отрицательный, переверните знак неравенства. Для самопроверки подставьте число из предполагаемого ответа в исходное неравенство.

В формуле корней теряют знак перед корнем или не проверяют число корней по дискриминанту. Обычно это случается из-за спешки при подстановке отрицательного b или из-за неверного выбора знака ±. Сначала отдельно вычислите D и определите число корней, затем подставляйте коэффициенты в формулу в скобках. В конце проверьте корни подстановкой в исходное уравнение.

Связь с другими темами

Для повторения этих результатов нужны навыки преобразования многочленов, действий с дробями, раскрытия скобок и решения линейных уравнений. Они помогают упрощать выражения и выполнять преобразования без потери равносильности. Квадратные уравнения и свойства корней используются при изучении функций, систем уравнений и задач прикладного содержания. Линейные неравенства вместе с анализом квадратичной функции дают основу для решения систем неравенств и исследования промежутков, на которых выражение положительно или отрицательно.

Что запомнить

• Знаменатель алгебраической дроби не равен нулю.
• Арифметический квадратный корень неотрицателен.
• При умножении или делении неравенства на отрицательное число его знак меняют на противоположный.
• Дискриминант определяет число действительных корней квадратного уравнения.
• График квадратичной функции — парабола.
• Полученные решения уравнений с ограничениями нужно проверять.