§ 32. Исследование функций на монотонность

Определения и обозначения

Функция возрастает на выбранном промежутке, если для любых x₁ < x₂ из этого промежутка выполняется f(x₁) < f(x₂). Иначе говоря, большему аргументу соответствует большее значение функции. Это определение позволяет говорить о поведении всей функции на промежутке, а не о паре случайных точек.

Функция убывает на выбранном промежутке, если для любых x₁ < x₂ выполняется f(x₁) > f(x₂). Значит, при увеличении аргумента значения функции становятся меньше. Такое свойство помогает описать участок графика, который идёт вниз слева направо.

Промежуток возрастания или убывания — это промежуток области определения функции, на котором она соответственно возрастает или убывает. Область определения — все значения x, для которых функция задана. Указание промежутка уточняет, где именно верно найденное свойство.

Функция называется монотонной на рассматриваемом промежутке, если на нём она либо возрастает, либо убывает. Слово «монотонная» объединяет оба случая, но не означает, что функция обязана вести себя одинаково на всей области определения. Поэтому обычно говорят о монотонности на конкретном промежутке.

Как это устроено

Возрастание и убывание определяют сравнением значений функции при любых двух аргументах, потому что отдельные точки не показывают поведение между ними. Например, два значения могут случайно увеличиться, хотя на части промежутка функция сначала убывала. Условие для всех x₁ < x₂ исключает такие случайные выводы и даёт точное описание изменения функции.

На графике нужно мысленно двигаться слева направо, то есть увеличивать x. Если при этом линия поднимается, значения y становятся больше и функция возрастает; если линия опускается — функция убывает. Высота точки относительно оси Ox сама по себе не определяет монотонность: график может быть ниже этой оси и всё равно подниматься.

Монотонность рассматривают на отдельных промежутках области определения, потому что функция может менять направление. Например, график параболы сначала опускается к вершине, а затем поднимается. Кроме того, точка, где функция не определена, разрывает область на части: сравнивать поведение через такую точку как через обычную точку графика нельзя.

Если графика нет, изменение можно исследовать по формуле. Берут любые x₁ < x₂ из нужного промежутка и сравнивают f(x₁) и f(x₂), часто рассматривая разность f(x₂) − f(x₁). Если она всегда положительна, функция возрастает; если всегда отрицательна — убывает. Слова «всегда» здесь существенны: вывод должен быть верен для любой пары допустимых аргументов.

В ответе указывают найденные промежутки возрастания и убывания и сверяются с областью определения. Если поведение меняется, промежутки записывают отдельно, не объединяя их в один. Границы включают только тогда, когда они принадлежат области определения и такое включение соответствует принятому описанию промежутка.

Признаки возрастания и убывания функции

Сначала проверьте, что сравниваемые аргументы принадлежат рассматриваемому промежутку и расположены в порядке x₁ < x₂. Затем сопоставьте значения функции или проследите направление графика слева направо. В последней строке таблицы не пропускайте сам промежуток: монотонность всегда указывают для конкретных значений x.

Разбор задач

Задача 1. По графику функции y = x² определите промежутки, на которых она возрастает и убывает.

На графике y = x² точка поворота находится при x = 0. Чтобы определить монотонность, проследим за графиком слева направо, а не будем сравнивать, выше или ниже оси Ox лежат его точки. До вершины график спускается, а после неё поднимается.

1. При x от −∞ до 0 движемся к вершине, и значения y уменьшаются. Значит, функция убывает на (−∞; 0].
2. При x от 0 вправо график поднимается, и значения y увеличиваются. Значит, функция возрастает на [0; +∞).
3. Точка x = 0 принадлежит области определения и является вершиной, поэтому её можно включить в оба указанных промежутка.

Ответ: функция убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞).

Задача 2. Исследуйте на монотонность функцию y = 3x − 2 на всей числовой прямой.

График можно не строить: сравним значения функции для любых двух чисел x₁ < x₂. Удобно найти разность f(x₂) − f(x₁). Если она положительна при любом таком выборе, значение функции увеличивается вместе с аргументом.

1. Запишем значения функции: f(x₁) = 3x₁ − 2 и f(x₂) = 3x₂ − 2.
2. Вычтем первое значение из второго: f(x₂) − f(x₁) = (3x₂ − 2) − (3x₁ − 2) = 3(x₂ − x₁).
3. Так как x₂ − x₁ > 0, то и 3(x₂ − x₁) > 0. Значит, f(x₂) > f(x₁) при любых x₁ < x₂.

Ответ: функция возрастает на всей числовой прямой.

Задача 3. Исследуйте на монотонность функцию y = 1/x на области определения.

Сначала найдём область определения: делить на ноль нельзя, поэтому x ≠ 0. Это значит, что исследовать нужно два отдельных промежутка, а не всю числовую прямую целиком. На каждом из них возьмём любые x₁ < x₂ и сравним значения функции.

1. Для ненулевых x₁ и x₂ разность равна f(x₂) − f(x₁) = 1/x₂ − 1/x₁ = (x₁ − x₂)/(x₁x₂).
2. Если оба числа положительны, то x₁ − x₂ < 0 и x₁x₂ > 0. Разность отрицательна, поэтому функция убывает на (0; +∞).
3. Если оба числа отрицательны, то x₁ − x₂ < 0 и x₁x₂ > 0. Разность снова отрицательна, поэтому функция убывает на (−∞; 0).

Ответ: функция убывает на (−∞; 0) и на (0; +∞); точка 0 в область определения не входит.

Типичные ошибки

Ошибка: объявлять функцию возрастающей или убывающей на всей области определения, не проверив, меняется ли её поведение. Так бывает, если ученик замечает только один участок графика или делает вывод по привычному виду формулы. Проверьте график слева направо и отметьте повороты; при смене направления запишите отдельные промежутки, как у y = x².

Ошибка: сравнивать функцию лишь в нескольких выбранных точках и на этом основании утверждать монотонность. Такие примеры показывают поведение только в выбранных местах, но не гарантируют его между ними. Для строгого исследования используйте любые x₁ < x₂ и докажите нужное сравнение для всех таких пар.

Ошибка: включать в промежуток монотонности точку, где функция не определена. Её могут пропустить, если область определения не проверили до исследования. Сначала найдите допустимые значения x: например, для y = 1/x число 0 исключено, поэтому промежутки по разные стороны от него записывают отдельно.

Ошибка: считать, что возрастание означает расположение графика выше оси Ox. Такое смешение возникает, когда направление движения путают с высотой точек. Проверьте себя движением слева направо: важен подъём или спуск графика, а не знак y.

Связь с другими темами

Для исследования монотонности нужны понятия функции, аргумента, области определения и графика, а также умение сравнивать числа и выражения. Область определения показывает, какие x допустимы, а сравнение помогает проверить изменение значений функции. Эти знания используются при построении и чтении графиков, решении уравнений и неравенств, а также при изучении свойств функций. Зная промежутки возрастания и убывания, легче понять, где график может пересекать заданную горизонтальную прямую.

Что запомнить

• Для возрастания при x₁ < x₂ должно выполняться f(x₁) < f(x₂).
• Для убывания при x₁ < x₂ должно выполняться f(x₁) > f(x₂).
• Монотонность всегда указывают относительно конкретного промежутка.
• По графику направление изменения функции читают слева направо.
• Перед исследованием учитывают область определения функции.
• Если поведение функции меняется, область определения разбивают на промежутки.