29. Свойства числовых неравенств

Определения и обозначения

Числовое неравенство — это запись, в которой сравниваются числа. Знак < означает «меньше», > — «больше», ≤ — «меньше или равно», а ≥ — «больше или равно». Такое сравнение показывает порядок чисел и помогает записывать ограничения на неизвестные.

Свойство прибавления числа утверждает: если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, знак сохранится. Например, из a > b следует a + c > b + c. Правило нужно, чтобы переносить слагаемые и получать более удобную запись неравенства.

При умножении обеих частей на положительное число знак неравенства сохраняется. Если a > b и k > 0, то ak > bk. Это свойство позволяет изменять масштаб чисел, не нарушая их порядок.

При умножении обеих частей на отрицательное число знак меняется на противоположный. Из a > b при k < 0 получается ak < bk. Это правило необходимо помнить при преобразовании неравенств, иначе получится неверный результат.

Как это устроено

На числовой прямой большее число находится правее меньшего. Если к обоим числам прибавить одно и то же число, каждая точка переместится на одинаковое расстояние и в одном направлении. Поэтому расстояние между точками и их порядок не изменятся: из a > b получается a + c > b + c.

Из двух неравенств a > b и c > d можно получить свойство почленного сложения: a + c > b + d. Действительно, сначала к a > b прибавим c и получим a + c > b + c, а затем используем c > d: число b + c больше числа b + d. Значит, a + c больше b + d.

Умножение на положительное число подобно увеличению или уменьшению расстояний на числовой прямой без разворота направления. Поэтому если k > 0, то из a > b следует ak > bk. При умножении на отрицательное число происходит ещё и отражение относительно нуля: бывшая правая точка оказывается левее бывшей левой, поэтому знак меняется.

Деление на ненулевое число можно заменить умножением на обратное число. Обратное к положительному числу положительно, а обратное к отрицательному — отрицательно, поэтому при делении действуют те же правила: на положительное число знак сохраняется, на отрицательное меняется. Эти свойства позволяют преобразовывать неравенство, не меняя множество подходящих значений.

Основные свойства числовых неравенств

Сначала определите действие и знак числа, на которое выполняется умножение или деление. Затем примените правило одновременно к обеим частям неравенства. Если число отрицательное, не забудьте поменять направление знака.

Разбор задач

Задача 1

Известно, что 7 > 3. Сравним 7 − 5 и 3 − 5. Вычитание 5 означает прибавление одного и того же числа −5 к обеим частям, поэтому знак менять не нужно.

1. Запишем действие как прибавление: 7 + (−5) > 3 + (−5).
2. Вычислим обе части: 2 > −2.
3. Сделаем вывод о сравнении исходных выражений.

Ответ: 7 − 5 > 3 − 5, то есть 2 > −2.

Задача 2

Известно, что 4 < 9. Требуется сравнить −3 · 4 и −3 · 9. Обе части умножаются на одно и то же отрицательное число −3, поэтому направление знака изменится.

1. Умножим неравенство 4 < 9 на −3.
2. Поменяем знак на противоположный: −3 · 4 > −3 · 9.
3. Вычислим значения: −12 > −27.

Ответ: −3 · 4 > −3 · 9, или −12 > −27. Полученный результат можно проверить по числовой прямой: −12 расположен правее −27.

Задача 3

Дано двойное неравенство 2 < x < 6. Нужно оценить выражение −2x + 5. Сначала избавимся от множителя перед x, затем прибавим 5, выполняя каждое действие над всеми частями.

1. Умножим все части на −2 и поменяем оба знака: −4 > −2x > −12.
2. Прибавим 5 ко всем частям: 1 > −2x + 5 > −7.
3. Перепишем оценку в привычном порядке: −7 < −2x + 5 < 1.

Ответ: −7 < −2x + 5 < 1. Два знака изменились потому, что двойное неравенство умножали на отрицательное число.

Типичные ошибки

При умножении или делении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Ошибка возникает из-за механического выполнения действия без проверки его знака. Проверьте себя на простом примере: из 2 < 5 после умножения на −1 должно получиться −2 > −5.

При прибавлении одного и того же числа к обеим частям некоторые меняют знак. На самом деле обе точки числовой прямой сдвигаются одинаково, поэтому порядок остаётся прежним. Для проверки подставьте числа: из 3 < 8 после прибавления 4 получается 7 < 12.

Нельзя применять правило умножения, не выяснив знак множителя. При положительном множителе знак сохраняется, при отрицательном меняется, а умножение на ноль вообще уничтожает различие между частями. Перед действием отдельно укажите: k > 0, k < 0 или k = 0.

Почленное сложение неравенств с разными направлениями не даёт результата по этому правилу. Для него нужны одинаковые знаки, например a > b и c > d. Сначала приведите сравнения к одному направлению или используйте другое свойство, если это возможно.

Связь с другими темами

До изучения свойств нужно уметь сравнивать числа и различать строгие знаки < и > и нестрогие знаки ≤ и ≥. Это помогает правильно читать условие и понимать границы допустимых значений.

Свойства числовых неравенств используются при решении линейных неравенств и преобразовании двойных неравенств. С их помощью неизвестную оставляют в удобной части записи и находят все подходящие значения.

Что запомнить

• Прибавление одного и того же числа к обеим частям сохраняет знак.
• Умножение на положительное число сохраняет знак.
• Умножение на отрицательное число меняет знак на противоположный.
• Деление подчиняется тем же правилам, что и умножение на число того же знака.
• При почленном сложении неравенств с одинаковыми знаками сравнения знак сохраняется.