"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Числовые неравенства показывают, какое из двух чисел больше или меньше. Их записывают знаками , ≤ и ≥, а сравнивать числа помогают разность и числовая прямая. Если к обеим частям прибавить одно и то же число, знак сохранится; при умножении на отрицательное число он изменится на противоположный. Эти правила нужны, чтобы сравнивать выражения, оценивать их значения и решать неравенства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое неравенство — запись сравнения двух чисел с помощью знаков <, >, ≤ или ≥. Например, 3 < 8 показывает, что 3 меньше 8. Такая запись помогает кратко сообщить, как числа расположены относительно друг друга.
Верное числовое неравенство — неравенство, в котором числа действительно находятся в указанном отношении. Знак ≤ читают «меньше или равно», а ≥ — «больше или равно»: например, 4 ≤ 4 и 7 ≥ 4 верны. Проверка верности нужна, чтобы отличать правильное сравнение от ошибочной записи.
Противоположные неравенства a < b и b > a выражают одно и то же сравнение чисел. В обеих записях говорится, что a меньше b, только числа и знак стоят в другом порядке. Это удобно, когда требуется представить сравнение в привычном виде.
Знак сравнения чисел показывает, какое из двух чисел больше или меньше. Запись a > b равносильна условию, что разность a − b положительна. Поэтому знак разности позволяет проверить сравнение даже тогда, когда числа представлены не так наглядно.
Сравнить числа a и b можно, вычислив разность a − b. Если она положительна, к a прибавили больше, чем нужно, чтобы получить b, поэтому a > b; если отрицательна, то a < b. При нулевой разности числа равны, ведь от одного числа до другого нет никакой разницы.
Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, знак останется прежним. Например, при a > b разность новых частей равна (a + c) − (b + c), то есть a − b: прибавленные c сокращаются. Поскольку исходная разность положительна, положительной остаётся и новая.
Умножение обеих частей на положительное число сохраняет порядок: положительная разность a − b после такого умножения остаётся положительной. При делении на положительное число происходит то же самое, ведь деление равносильно умножению на положительное число, обратное делителю. Если же умножить положительную разность на отрицательное число, она станет отрицательной, поэтому знак сравнения нужно перевернуть; деление на отрицательное действует так же.
Из a > b и b > c следует a > c, потому что на числовой прямой a расположено правее b, а b — правее c. Значит, a окажется правее и c. Это свойство позволяет сравнивать крайние числа в цепочке, не вычисляя их разность напрямую.
Если два верных неравенства направлены одинаково, их можно сложить почленно: a > b и c > d дают a + c > b + d. Разность полученных частей равна сумме положительных разностей a − b и c − d, поэтому она положительна. При умножении неравенств нельзя забывать о знаках множителей: если все числа положительны, из a > b и c > d следует ac > bd, но при отрицательных или разных по знаку числах направление нужно устанавливать отдельно.
| Условие | Что можно сделать | Результат |
|---|---|---|
| a > b | Прибавить одно и то же число c | a + c > b + c |
| a > b, c > 0 | Умножить или разделить обе части на c | Знак сохраняется |
| a > b, c < 0 | Умножить или разделить обе части на c | Знак меняется на противоположный |
| a > b, b > c | Применить транзитивность | a > c |
| a > b, c > d | Сложить неравенства почленно | a + c > b + d |
Найдите в таблице условие, которое подходит к вашей ситуации, и проверьте знак множителя, если выполняете умножение или деление. В каждой строке указано, какое действие разрешено и как после него записать результат. При сложении убедитесь, что исходные неравенства направлены одинаково.
Задача 1. Сравните 7,3 и 7,08. Дроби удобно записать с одинаковым числом знаков после запятой. Тогда сравнение сводится к проверке разрядов десятичных дробей.
Ответ: 7,3 > 7,08. Сравнение десятых сразу определило порядок чисел, поэтому разряды сотых уже не влияют на ответ.
Задача 2. Известно, что x < 4. Сравните x + 6 и 10. Нужно применить правило о прибавлении одного числа к обеим частям. Так мы получим выражение из задачи и число, с которым его сравнивают.
Ответ: x + 6 < 10. Здесь знак сохранился, потому что к обеим частям прибавили одно и то же число.
Задача 3. Известно, что −3 < a < 2. Оцените выражение −2a + 5. Сначала нужно преобразовать обе части двойного неравенства, чтобы в середине появилось −2a. Умножение на отрицательное число меняет направление каждого знака.
Ответ: 1 < −2a + 5 < 11. Проверка направления полезна: умножение отрицательных границ на −2 меняет их порядок, а прибавление 5 его не меняет.
При умножении обеих частей на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Так происходит, если запомнить только действие, но забыть, что отрицательное умножение разворачивает порядок чисел. Для проверки возьмите, например, 2 < 5 и умножьте обе части на −1: получится −2 > −5.
Некоторые считают, что знак сохраняется и при прибавлении к частям разных чисел. Однако тогда разность новых частей уже не равна исходной: прибавления могут изменить её знак. Проверьте себя, подставив простые числа: из 5 > 3 не следует 5 + 0 > 3 + 10.
Знаки < и > путают, когда читают их без слов «меньше» и «больше». Чтобы не ошибиться, прочитайте запись целиком или представьте числа на числовой прямой: меньшее находится левее, большее — правее. Например, −4 < 1, потому что −4 расположено левее 1.
Ещё одна ошибка — сложить неравенства, направленные в разные стороны, как однонаправленные. Правило почленного сложения требует, чтобы оба знака смотрели в одну сторону; иначе доказательство через сумму положительных разностей не работает. Перед сложением выпишите условия рядом и проверьте направление каждого знака.
Для работы с числовыми неравенствами нужно уметь сравнивать целые, дробные и отрицательные числа, находить разность и выполнять действия с рациональными числами. Без этих навыков трудно определить знак разности или правильно преобразовать обе части. Позже свойства неравенств пригодятся при решении линейных неравенств и систем неравенств.
Сравнение также используют, чтобы оценивать выражения: находить границы, между которыми лежит их значение. При доказательстве неравенства нужно показать, почему одно выражение больше или меньше другого. Для этого часто сравнивают разность выражений или преобразуют неравенства по известным правилам.
Как определить, какое из двух отрицательных чисел больше?
На числовой прямой больше то число, которое расположено правее. Например, −2 > −5: число −2 ближе к нулю и находится правее −5. Можно также сравнить разность: −2 − (−5) = 3 > 0.
Почему при умножении неравенства на отрицательное число знак меняется?
При умножении на отрицательное число порядок чисел на числовой прямой переворачивается. Например, из 2 < 5 следует −2 > −5. Поэтому знак неравенства нужно заменить на противоположный.
Можно ли прибавить к обеим частям неравенства разные числа?
Такое действие возможно, но знак неравенства не обязательно сохранится. Правило о сохранении знака работает, когда к обеим частям прибавляют одно и то же число. При разных числах результат нужно проверять отдельно.
Как складывать два числовых неравенства?
Складывают левые части между собой и правые части между собой, если оба неравенства верны и направлены одинаково. Например, из a > b и c > d следует a + c > b + d. Если направления разные, сначала нельзя применять это правило напрямую.
Как из цепочки неравенств получить сравнение крайних чисел?
Если числа связаны неравенствами одного направления, можно последовательно сравнить крайние. Например, из a > b и b > c следует a > c. Число b показывает, что a больше c через два промежуточных сравнения.
28. Числовые неравенства
