§ 10. Числовые неравенства и их свойства

Определения и обозначения

Числовое неравенство — запись, которая сравнивает два числа с помощью знаков <, >, ≤ или ≥. Знак < читают «меньше», > — «больше», ≤ — «меньше или равно», а ≥ — «больше или равно». Например, 3 < 5 означает, что 3 меньше 5. Знаки помогают коротко записывать результат сравнения.

Строгое числовое неравенство содержит знак < или >. В нём сравниваемые числа не равны: например, 4 > 2. Проверить, верно ли такое сравнение, можно по разности чисел: для a > b она должна быть положительной. Это удобно, когда числа записаны в непривычном виде.

Нестрогое числовое неравенство содержит знак ≤ или ≥ и допускает равенство сравниваемых чисел. Например, 3 ≤ 3 — верное утверждение, хотя числа одинаковы. Такой знак нужен, когда рассматриваемое число может быть и меньше другого, и равно ему. В задачах важно не потерять возможность равенства.

Противоположные неравенства получают, если поменять сравниваемые числа местами и заменить знак на противоположный: a > b равносильно b < a. Например, 8 > 6 и 6 < 8 выражают одно сравнение. Эта запись помогает правильно переворачивать неравенство, когда меняют местами его части. Сами числа при этом не меняются.

Как это устроено

Сравнение чисел можно свести к проверке разности: a > b тогда и только тогда, когда a − b > 0. Если разность положительна, первое число больше второго; если отрицательна — меньше; если равна нулю — числа равны. Например, для проверки 7 > 4 достаточно вычислить 7 − 4 = 3 и установить, что 3 > 0. Поэтому знак разности даёт точный способ проверить неравенство.

Если прибавить одно и то же число c к обеим частям, порядок не изменится. Действительно, разность новых частей равна (a + c) − (b + c), а после раскрытия скобок получается a − b: добавки c взаимно сокращаются. Значит, если исходная разность была положительной, она останется положительной. Поэтому из a > b следует a + c > b + c.

При умножении обеих частей на положительное число расстояния от нуля растут в одном направлении, и больший множитель остаётся большим: из a > b и c > 0 следует ac > bc. Отрицательное число меняет направление на противоположное: умножение на −1 отражает числа относительно нуля, поэтому большему числу соответствует меньшее противоположное. Например, из 5 > 2 следует −5 < −2. При делении действуют те же правила, поскольку деление на число равносильно умножению на обратное ему число.

Почленное сложение возможно, если оба неравенства направлены одинаково. Из a > b следует a − b > 0, а из c > d следует c − d > 0; сумма положительных разностей тоже положительна. При этом (a + c) − (b + d) = (a − b) + (c − d), значит, a + c > b + d. Если направления разные, разности могут иметь разные знаки, и такой вывод уже не гарантирован.

При умножении неравенств необходимо следить за знаками чисел, потому что умножение отрицательных величин может изменить порядок. Если a > b > 0 и c > d > 0, то сначала из a > b при положительном c получаем ac > bc, а из c > d при положительном b — bc > bd. Следовательно, ac > bd. Без условий положительности сравнение произведений напрямую может оказаться неверным, поэтому сначала проверяют знаки всех множителей.

Основные свойства числовых неравенств

В таблице даны правила для строгого знака >; для знака < действуют аналогичные свойства с соответствующим направлением. Перед действием проверь условие в первом столбце, особенно знак числа, на которое умножаешь. Тогда станет ясно, сохранится ли знак неравенства или его нужно поменять.

Разбор задач

Задача 1. Сравните 7,2 и 7,15, используя определение числового неравенства. Нужно установить знак разности, вычитая меньшее число из большего предполагаемого. Если результат положителен, предположение подтвердится. Запись десятичных дробей с одинаковым числом знаков после запятой поможет избежать ошибки.

1. Вычислим разность 7,2 − 7,15. Запишем 7,2 как 7,20, чтобы было удобнее вычитать.
2. Получаем 7,20 − 7,15 = 0,05. Число 0,05 положительно, поэтому разность первого числа и второго больше нуля.
3. По определению числового неравенства заключаем: 7,2 > 7,15.

Ответ: 7,2 > 7,15.

Задача 2. Известно, что a < b. Сравните a − 5 и b − 5, а затем −3a и −3b. В первой паре к обеим частям исходного неравенства прибавляется одно число, а во второй обе части умножаются на отрицательное число. Эти действия по-разному влияют на знак сравнения.

1. Запишем a − 5 и b − 5 как a + (−5) и b + (−5). Прибавление одного числа сохраняет направление, поэтому a − 5 < b − 5.
2. Для второй пары умножаем a < b на −3. Число −3 отрицательное, следовательно, знак меняется на противоположный.
3. Получаем −3a > −3b. Проверить направление можно на простом примере: отрицательные значения меняют порядок при умножении на отрицательное число.

Ответ: a − 5 < b − 5; −3a > −3b.

Задача 3. Известно, что 2 < x < 5 и 3 < y < 7. Оцените x + y и xy. Каждая двойная запись означает сразу два сравнения: 2 < x и x < 5, а также 3 < y и y < 7. Чтобы оценить сумму, сложим нижние и верхние границы; для произведения сначала проверим, что x и y положительны.

1. Сложим нижние границы: 2 + 3 < x + y, то есть 5 < x + y. Сложим верхние: x + y < 5 + 7, то есть x + y < 12.
2. Оба множителя положительны, так как x > 2 и y > 3. Поэтому нижние границы можно перемножить: 2 · 3 < xy, откуда 6 < xy.
3. Верхние границы также положительны, и почленное умножение даёт xy < 5 · 7, то есть xy < 35. Соединим полученные оценки: 6 < xy < 35.

Ответ: 5 < x + y < 12; 6 < xy < 35.

Типичные ошибки

При умножении неравенства на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Ошибка возникает, если помнить о действии умножения, но забыть, что оно меняет порядок чисел. Например, из 2 < 5 нельзя получить −2 < −5: верно −2 > −5. Для проверки подставь конкретные числа и сравни получившиеся значения.

Почленное умножение иногда выполняют, не проверив знаки чисел. Такое правило нельзя применять без условий: при отрицательных множителях направление сравнения может измениться. Например, из 2 > 1 и −1 > −2 не следует 2 · (−1) > 1 · (−2), потому что −2 > −2 неверно. Перед умножением проверь, что сравниваемые числа положительны.

Ещё одна ошибка — сложить почленно неравенства с разными направлениями. Правило сложения требует одинакового направления, иначе разности могут компенсировать друг друга. Например, из 5 > 2 и 1 < 3 нельзя получить 6 > 5 почленным сложением; на самом деле 5 > 6 неверно. Сначала проверь, одинаковы ли знаки сравнения.

Некоторые считают, что при смене знаков у чисел знак неравенства остаётся прежним. Но умножение обеих частей на −1 меняет направление: из a > b следует −a < −b. Так происходит потому, что точки на числовой прямой отражаются относительно нуля. Проверить себя можно на примере 4 > 1: после смены знаков получаем −4 < −1.

Связь с другими темами

Чтобы сравнивать числа и выполнять действия с неравенствами, нужно знать, как расположены на числовой прямой положительные числа, отрицательные числа и ноль. Также пригодятся правила действий с отрицательными числами, особенно умножение и деление. Освоенные свойства станут основой для решения линейных неравенств и систем неравенств. Оценка выражений с помощью неравенств используется при изучении функций и при доказательстве математических утверждений.

Что запомнить

• a > b равносильно a − b > 0.
• Прибавление одного и того же числа сохраняет знак неравенства.
• Умножение на положительное число сохраняет знак.
• Умножение на отрицательное число меняет знак на противоположный.
• Неравенства одного направления можно складывать почленно.
• Для почленного умножения неравенств нужны дополнительные условия, в частности положительность сравниваемых чисел.