"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Числовое неравенство сравнивает два числа и показывает, какое из них больше или меньше. Такие записи помогают описывать порядок чисел и преобразовывать неравенства, не теряя верных решений. Главное — учитывать действие над обеими частями: прибавление сохраняет знак, умножение или деление на положительное число тоже, а на отрицательное — меняет знак на противоположный. Эти правила пригодятся при решении линейных неравенств.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое неравенство — запись, сравнивающая два числа с помощью знаков <, >, ≤ или ≥. Например, 3 < 8 читается: «три меньше восьми», а 8 ≥ 3 — «восемь больше или равно трём». Такая запись коротко показывает порядок чисел и помогает выполнять сравнение в вычислениях.
Строгое неравенство использует знаки < или > и означает, что одно число именно меньше или больше другого, но не равно ему. В записи 4 < 6 числа различны, поэтому знак строгий. Его важно отличать от нестрогого, чтобы не исключить допустимый случай равенства.
Нестрогое неравенство записывают знаками ≤ или ≥; оно допускает, что сравниваемые числа равны. Например, 5 ≤ 5 верно, потому что число 5 равно самому себе, а также 5 ≤ 8 верно, потому что 5 меньше 8. Такие знаки нужны, когда подходят и равенство, и строгая разница между числами.
Числа можно представить точками на координатной прямой. Чем правее расположена точка, тем больше соответствующее число: например, 2 находится правее −1, значит, −1 < 2. Такое представление помогает не только читать знак, но и понять, почему некоторые преобразования его меняют.
Если к обоим сравниваемым числам прибавить одно и то же число, их точки сдвинутся по прямой на одинаковое расстояние и в одном направлении. Поэтому порядок между ними останется прежним: если a < b, то a + c < b + c. Вычитание числа равносильно прибавлению противоположного, так что оно тоже сохраняет знак.
Умножение на положительное число растягивает расстояние от нуля, но не меняет порядок чисел. Например, при умножении −2 < 3 на 4 получаем −8 < 12. Деление на положительное число выполняет обратное действие и также сохраняет знак, поскольку числа не меняются местами.
При умножении на отрицательное число направление на прямой как бы переворачивается: числа, которые были правее, оказываются левее. Поэтому знак нужно заменить противоположным: из 2 < 7 при умножении на −3 получается −6 > −21. Деление на отрицательное число действует так же, поскольку оно равносильно умножению на отрицательное обратное число.
Если первое число меньше второго, а второе меньше третьего, то первое меньше третьего: a < b и b < c дают a < c. Это следует из порядка точек на прямой: точка a расположена левее b, а b — левее c, значит, a левее c. Свойство называется транзитивностью и позволяет сравнивать числа через промежуточное число.
| Действие над обеими частями | Что происходит со знаком | Пример |
|---|---|---|
| Прибавление одного и того же числа | Сохраняется | 2 < 5 → 2 + 3 < 5 + 3 |
| Вычитание одного и того же числа | Сохраняется | 7 > 4 → 7 − 2 > 4 − 2 |
| Умножение или деление на положительное число | Сохраняется | −2 < 3 → −8 < 12 |
| Умножение или деление на отрицательное число | Меняется на противоположный | 2 < 7 → −6 > −21 |
| Сравнение через промежуточное число | Из a < b и b < c следует a < c | 1 < 4 и 4 < 9 → 1 < 9 |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определи, какое действие выполнено с обеими частями. Затем проверь знак числа, на которое умножают или делят: именно от него зависит, сохранится ли знак. Для цепочки сравнений найди общее промежуточное число и примени транзитивность.
Задача 1. Известно, что 3 < 8. Сравните 3 + 5 и 8 + 5. Нужно определить, изменится ли порядок чисел после прибавления. Здесь к обеим частям исходного неравенства прибавляют одно и то же число.
Ответ: 3 + 5 < 8 + 5.
Задача 2. Известно, что −4 < 2. Сравните произведения обеих частей неравенства на 3. Множитель 3 положительный, поэтому знак при умножении сохраняется. Достаточно выполнить одинаковое действие с обеими частями.
Ответ: произведение −12 меньше произведения 6.
Задача 3. Известно, что 2 < 7. Сравните числа −6 и −21. Эти числа получаются умножением левой и правой частей исходного неравенства на −3. Отрицательный множитель меняет порядок, поэтому нельзя оставлять знак без изменения.
Ответ: −6 > −21.
При умножении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Так ошибаются, если помнят только о выполнении одного действия с обеими частями и забывают, что отрицательное умножение переворачивает порядок. Проверка: умножь обе части отдельно и сравни результат на прямой; например, −6 правее −21, значит, −6 > −21.
Другая ошибка — менять знак при умножении или делении на положительное число. Обычно это происходит из-за путаницы с правилом для отрицательного множителя. Проверь знак числа: если он положительный, знак неравенства сохраняется, как в −2 < 3 и −8 < 12.
Нельзя прибавлять к обеим частям разные числа и считать, что знак обязательно сохранится. Свойство работает только для одного и того же слагаемого; разные сдвиги могут изменить порядок. Для самопроверки выпиши действия отдельно и убедись, что к обеим частям прибавлено одинаковое число.
Из a < b нельзя заключать, что −a < −b: при умножении обеих частей на −1 знак меняется. Эту ошибку допускают, забывая, что противоположные числа располагаются по другую сторону нуля. Подставь, например, a = 2 и b = 7: получим −2 > −7, а не −2 < −7.
Для работы с неравенствами нужно уметь сравнивать числа и понимать их расположение на координатной прямой. Это помогает увидеть, какой знак поставить и почему умножение на отрицательное число меняет порядок. Свойства числовых неравенств применяют при преобразовании неравенств, в том числе линейных. Благодаря им можно выполнять одинаковые действия с обеими частями и сохранять равносильность записи.
Что называют числовым неравенством?
Это запись, которая сравнивает два числа с помощью знаков , ≤ или ≥. Например, 4 < 9 означает, что 4 меньше 9.
Чем строгие неравенства отличаются от нестрогих?
Строгие знаки < и > показывают, что числа не равны: одно строго меньше или больше другого. Нестрогие знаки ≤ и ≥ допускают равенство чисел.
Почему при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется?
Умножение на отрицательное число меняет расположение чисел относительно нуля: большее число после такого умножения становится меньшим. Например, из 2 < 7 получается −4 > −14 при умножении на −2.
Меняется ли знак, если к обеим частям прибавить одно и то же число?
Нет, знак сохраняется. Прибавление одинакового числа сдвигает оба числа на координатной прямой на одно и то же расстояние, поэтому их порядок не меняется.
Как сравнить числа, если известно, что между ними выполняется цепочка неравенств?
Используй транзитивность: если первое число меньше второго, а второе меньше третьего, то первое меньше третьего. Например, из a < b и b < c следует a < c.
2.2. Числовые неравенства и их свойства
