2.1. Сравнение чисел

Определения и обозначения

Сравнить два числа — значит установить, какое из них больше или меньше, либо доказать, что они равны. Например, сравнение 4 и 9 показывает, что 4 меньше 9. Это нужно, чтобы упорядочивать числа и выбирать подходящую запись для результата вычисления.

Знак > означает «больше», а знак < — «меньше»: запись a > b читают «a больше b», запись a < b — «a меньше b». Буквы здесь обозначают любые числа, поэтому знак можно использовать и с конкретными числами, и с выражениями. Например, 8 > 3 и −4 < 1.

Числовое неравенство — это запись, в которой два числа соединены знаком > или <. В записи 6 > 2 сравниваются числа 6 и 2, а знак указывает их порядок. Понятие помогает коротко записывать результат сравнения и применять к нему правила преобразования.

Разность a − b помогает сравнить числа a и b: если она положительна, то a > b; если отрицательна, то a < b; если равна нулю, числа равны. Например, чтобы сравнить два числа, можно вычесть одно из другого и определить знак результата. Такой способ особенно удобен, когда числа представлены дробями или выражениями.

Как это устроено

На координатной прямой числа расположены в порядке возрастания слева направо. Поэтому из двух чисел больше то, которое находится правее, а меньше — то, которое левее. Это правило объясняет, почему −2 больше −6: точка −2 расположена правее точки −6, хотя модуль числа −6 больше.

Сравнение через разность следует из смысла вычитания: a − b показывает, на сколько a отличается от b. Если результат положителен, число a отстоит от b в сторону больших чисел, значит a > b; если результат отрицателен, a < b. При нулевой разности никакого отличия нет, поэтому числа совпадают.

Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, их взаимное расстояние не изменится: обе точки на прямой сдвинутся на одинаковую величину. Поэтому порядок сохранится. Вычитание одного и того же числа равносильно прибавлению противоположного, значит оно тоже не меняет знак неравенства.

Умножение или деление обеих частей на положительное число сохраняет порядок: числа увеличиваются или уменьшаются в одинаковом направлении. Например, из 2 < 5 следует 2 · 3 < 5 · 3, то есть 6 < 15. При умножении на отрицательное число направление меняется: на прямой большему исходному числу соответствует меньшее произведение, поэтому знак обращается; при делении на отрицательное число действует то же правило.

Чтобы сравнить дроби, их часто приводят к общему знаменателю: тогда достаточно сравнить числители. Можно также привести выражения к удобному виду, найти их разность и выяснить её знак. При преобразовании неравенств применяют правила сложения, умножения и деления, каждый раз проверяя, положителен ли множитель или делитель.

Сравнение чисел и преобразование неравенств

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала определи, что именно происходит с числами: вычисляется разность или преобразуются обе части неравенства. Затем выбери соответствующую строку и сделай вывод о знаке или порядке чисел. При умножении и делении обязательно проверь знак числа, на которое выполняется действие.

Разбор задач

Задача 1. Сравнить числа 7 и 11. Удобно оценить их положение на координатной прямой: 7 расположено левее 11. Тот же вывод можно получить, вычислив разность первого числа и второго.

1. Вычислим разность: 7 − 11 = −4.
2. Получили отрицательное число, поэтому первое число меньше второго: 7 < 11.

Ответ: 7 < 11. Проверка по координатной прямой даёт тот же результат: число 7 находится левее числа 11. Такой выбор способа помогает быстро проверить сравнение.

Задача 2. Сравнить дроби 5/8 и 2/3. Знаменатели разные, поэтому нельзя сравнить дроби только по числителям или только по знаменателям. Приведём их к общему знаменателю 24, сохранив значения дробей.

1. Преобразуем дроби: 5/8 = 15/24, а 2/3 = 16/24.
2. При одинаковых положительных знаменателях больше дробь с большим числителем: 15 < 16.
3. Значит, 15/24 < 16/24, то есть 5/8 < 2/3.

Ответ: 5/8 < 2/3. Можно проверить результат разностью: 5/8 − 2/3 = 15/24 − 16/24 = −1/24. Она отрицательна, что подтверждает найденный порядок.

Задача 3. Известно, что −3 < x < 4. Сравнить 2x − 1 и 7. Не нужно выбирать одно значение x: неравенство сразу задаёт все допустимые значения и позволяет оценить выражение целиком. Преобразуем обе границы, сохраняя правильные знаки.

1. Умножаем все части двойного неравенства на 2. Число 2 положительно, поэтому знаки остаются прежними: −6 < 2x < 8.
2. Вычитаем 1 из всех частей. При вычитании одного и того же числа знак сохраняется: −7 < 2x − 1 < 7.
3. Из верхней границы следует 2x − 1 < 7. Значит, выражение меньше 7 при любом x, удовлетворяющем условию.

Ответ: 2x − 1 < 7. Нижняя граница также показывает, что −7 < 2x − 1, но для сравнения с числом 7 достаточно верхней границы. Если бы при преобразовании умножали на отрицательное число, знак пришлось бы обратить.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что больше то отрицательное число, у которого больше модуль, например утверждать, что −8 > −3. Так рассуждают, перенося правило для положительных чисел на отрицательные. На координатной прямой −8 находится левее −3, поэтому −8 < −3; проверяй расположение чисел, а не только их модули.

Ошибка: умножить обе части неравенства на отрицательное число и оставить знак прежним. Например, из 2 < 5 при умножении на −1 получается −2 > −5, а не −2 < −5. Порядок обращается, потому что умножение на отрицательное число меняет направление на числовой прямой. Для самопроверки подставь простые числа, как в этом примере.

Ошибка: сравнивать дроби только по числителям или только по знаменателям. Это не учитывает, что знаменатель задаёт размер долей, а числитель — их количество. Приведи дроби к общему знаменателю или вычисли их разность, а затем проверь знак результата.

Ошибка: из a − b > 0 заключать, что a < b. При вычитании легко перепутать, какое число стоит первым, и перевернуть вывод. Положительная разность означает, что первое число больше второго; проверь это на примере 7 − 3 = 4, где 7 > 3.

Связь с другими темами

Для сравнения чисел нужны координатная прямая, представления о положительных и отрицательных числах, а также умение выполнять действия с рациональными числами. В частности, важно правильно определять знак суммы, произведения и частного. Эти знания позволяют вычислить разность и верно преобразовать неравенство.

Правила сравнения применяются при решении неравенств и систем неравенств, а также при оценке значений выражений. Например, если известны границы для переменной, можно преобразовать их и установить границы для выражения. Так сравнение помогает рассуждать о множестве возможных значений, а не только об одном вычисленном числе.

Что запомнить

• Из двух чисел больше то, которое расположено правее на координатной прямой.
• a > b тогда и только тогда, когда a − b > 0.
• a < b тогда и только тогда, когда a − b < 0.
• Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства сохраняет его знак.
• Умножение или деление на положительное число сохраняет знак неравенства.
• Умножение или деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный.