1.4. Построение графика квадратичной функции

Определения и обозначения

Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Если бы a равнялось нулю, член ax² исчез бы и формула стала линейной или постоянной, то есть речь шла бы уже не о квадратичной функции. Условие a ≠ 0 гарантирует, что график будет параболой.

Парабола — график квадратичной функции. Её ветви направлены вверх, если a > 0, и вниз, если a < 0. Знак a нужен, чтобы ещё до вычисления точек понять общий вид графика и правильно его изобразить.

Вершина параболы — точка, в которой её ветви меняют направление. Для функции y = ax² + bx + c абсцисса вершины равна −b/(2a), а ординату получают, подставляя это значение x в формулу функции. Координаты вершины помогают найти, где функция достигает минимума или максимума.

Ось симметрии параболы — прямая, относительно которой симметричны точки графика: точки на одинаковом расстоянии от неё имеют одинаковые y. Для функции y = ax² + bx + c ось задаётся уравнением x = −b/(2a). Она проходит через вершину и позволяет строить точки попарно, не вычисляя каждую отдельно.

Как это устроено

Чтобы увидеть вершину, преобразуем формулу, выделив полный квадрат: y = ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Теперь выражение можно записать как y = a(x − m)² + n, где m = −b/(2a), а n = c − b²/(4a). При x = m квадратная скобка обращается в ноль, поэтому вершина имеет координаты (m; n), а ось симметрии — x = m.

В записи y = a(x − m)² + n квадрат (x − m)² не бывает отрицательным. Если a > 0, при удалении от x = m этот квадрат увеличивается, поэтому y растёт в обе стороны от вершины: ветви направлены вверх, а n — минимум. Если a < 0, произведение становится всё меньше, и вершина оказывается наивысшей точкой графика, то есть точкой максимума.

Для построения сначала отмечают вершину и проводят через неё ось симметрии. Затем выбирают несколько значений x слева и справа от оси и вычисляют соответствующие y; удобно брать пары x, равноудалённые от оси. Полученные точки располагаются симметрично, а параболу проводят через них плавной кривой, не заменяя её ломаной.

Пересечения с координатными осями дают дополнительные опорные точки. На оси Oy координата x равна нулю, поэтому достаточно вычислить y = c и отметить точку (0; c). На оси Ox координата y равна нулю, поэтому решают уравнение ax² + bx + c = 0: его корни дают абсциссы точек пересечения, а отсутствие действительных корней означает, что пересечений с Ox нет.

Если трёхчлен разложен на множители, его нули часто видны сразу: например, в записи y = a(x − r₁)(x − r₂) корни r₁ и r₂ задают пересечения с Ox. При двух различных корнях ось симметрии проходит ровно посередине между ними, поскольку соответствующие точки параболы симметричны. Найдя вершину и направление ветвей, можно отметить корни и добавить несколько пар точек, чтобы провести график; если корень один или корней нет, вершину находят по формуле или выделением квадрата.

Ориентиры для построения графика y = ax² + bx + c

Пользуйся таблицей как последовательностью ориентиров: сначала найди вершину и ось, затем направление ветвей и пересечения с осями. Если пересечений с Ox нет, это не мешает построить график — добавь точки, вычисленные по формуле. Симметричные точки помогут проверить, верно ли они расположены.

Разбор задач

Построить график функции y = x² − 4x + 3

У функции a = 1, поэтому ветви параболы направлены вверх. Выделим полный квадрат, чтобы сразу увидеть вершину и ось симметрии, а затем проверим положение графика с помощью нулей и дополнительных точек.

1. Преобразуем выражение: y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1. Значит, вершина — (2; −1), ось симметрии — x = 2.
2. Найдём пересечения с Ox: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) = 0. Получаем точки (1; 0) и (3; 0), расположенные симметрично относительно x = 2.
3. При x = 0 получаем y = 3, то есть точку (0; 3). По симметрии ей соответствует точка (4; 3).

Отметим найденные точки и проведём через них плавную параболу с ветвями вверх. Проверка: вершина ниже оси Ox, а два корня лежат по обе стороны от неё на одинаковом расстоянии. Ответ: вершина (2; −1), ось x = 2; график проходит через (1; 0), (3; 0), (0; 3) и (4; 3).

Построить график функции y = −2x² + 4x + 6 и указать её наибольшее значение

Коэффициент a = −2 отрицательный, значит, ветви направлены вниз и вершина будет точкой максимума. Чтобы не перепутать координаты вершины, сначала найдём x, а потом подставим его в функцию для определения y.

1. Выделим полный квадрат: y = −2(x² − 2x) + 6 = −2((x − 1)² − 1) + 6 = −2(x − 1)² + 8. Вершина — (1; 8), ось симметрии — x = 1.
2. Найдём пересечения с Ox: −2x² + 4x + 6 = 0, или x² − 2x − 3 = 0. Разложение (x − 3)(x + 1) = 0 даёт точки (3; 0) и (−1; 0).
3. При x = 0 получаем y = 6, значит, есть точка (0; 6); симметричная ей точка — (2; 6). Отмечаем точки и проводим параболу вниз.

Поскольку ветви направлены вниз, никакое значение функции не может быть выше ординаты вершины. Ответ: график имеет вершину (1; 8), а наибольшее значение функции равно 8.

Построить график функции y = 3(x − 2)² − 5 и определить, при каких x функция принимает значение 7

Функция уже записана через квадрат разности, поэтому её вершина и ось видны сразу. Коэффициент перед квадратом положительный, и от вершины график поднимается в обе стороны. Для построения достаточно отметить вершину и несколько симметричных точек.

1. Из записи получаем вершину (2; −5) и ось симметрии x = 2. Так как 3 > 0, ветви направлены вверх.
2. Возьмём x = 1 и x = 3: в обоих случаях (x − 2)² = 1, поэтому y = 3 − 5 = −2. Отметим точки (1; −2) и (3; −2).
3. Возьмём x = 0 и x = 4: квадрат разности равен 4, поэтому y = 12 − 5 = 7. Это точки (0; 7) и (4; 7), симметричные относительно оси.
4. Чтобы найти все x, при которых y = 7, решим 3(x − 2)² − 5 = 7. Тогда (x − 2)² = 4, откуда x − 2 = ±2 и x = 0 или x = 4.

Ответ: вершина (2; −5), ось x = 2; значение 7 функция принимает при x = 0 и x = 4. Решения уравнения совпали с абсциссами отмеченных точек пересечения параболы с горизонтальной прямой y = 7.

Типичные ошибки

В формуле абсциссы вершины иногда пишут b/(2a), забывая минус: так ось симметрии оказывается не там, и все дальнейшие точки могут сместиться. Ошибку часто допускают из-за привычки запоминать формулу как набор символов, не проверяя знак. Подставь найденное значение в формулу вершины или выдели квадрат: например, у y = x² − 4x + 3 ось проходит через x = 2, а не x = −2.

Координаты вершины — это не два значения x: сначала находят абсциссу −b/(2a), затем вычисляют значение функции при этом x, чтобы получить ординату. Если поменять порядок или записать x и y местами, вершина окажется в неверной точке. Самопроверка: подставь обе координаты в условие, и точка должна удовлетворять уравнению графика.

Направление ветвей определяют по коэффициенту a, а не по свободному члену c. Число c показывает пересечение с Oy, поэтому оно может быть положительным или отрицательным независимо от того, куда направлены ветви. Проверь знак именно при x²: например, в y = −2x² + 4x + 6 ветви направлены вниз, хотя c положительно.

Точки только с одной стороны от оси симметрии не показывают всю форму графика, а соединение точек отрезками превращает плавную кривую в ломаную. Так бывает, если забыть про симметрию или стремиться провести линию через каждую точку слишком буквально. Выбирай значения x по обе стороны оси, проверяй совпадение y у равноудалённых точек и проводи плавную параболу через отметки.

Связь с другими темами

Для построения пригодятся умения вычислять значения функции, преобразовывать квадратные выражения и решать квадратные уравнения. В частности, решение уравнения y = 0 помогает найти пересечения параболы с осью Ox. Если корней нет, вершина и дополнительные значения всё равно позволяют построить график.

Как и график линейной функции, парабола помогает находить точки пересечения графиков и решать уравнения графически. Например, общие точки параболы и прямой соответствуют решениям уравнения, которое получается приравниванием их формул. Знание вида графиков помогает понять, сколько таких точек может быть.

Построенная парабола нужна для исследования квадратичной функции: по ней определяют промежутки возрастания и убывания, а также область значений. Та же идея вершины используется при решении квадратных неравенств и задач на наибольшее или наименьшее значение. Поэтому умение строить график связывает вычисления с наглядным исследованием функции.

Что запомнить

• График квадратичной функции — парабола.
• При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
• Ось симметрии имеет уравнение x = −b/(2a).
• Вершину можно найти, приведя функцию к виду y = a(x − m)² + n.
• Точки параболы, равноудалённые от оси симметрии, имеют одинаковые значения y.
• Пересечение с Oy находят подстановкой x = 0, а пересечения с Ox — решением уравнения y = 0.