1.3. Функция у = а(х + К)2 + I и её график

Определения и обозначения

Функция вида y = a(x + k)² + l при a ≠ 0 называется квадратичной функцией, записанной в вершинной форме. Число a определяет направление ветвей и ширину параболы, k задаёт горизонтальный сдвиг, а l — вертикальный. Такая запись удобна тем, что основные свойства видны прямо из формулы.

График квадратичной функции называется параболой. Если a > 0, её ветви направлены вверх, а если a < 0 — вниз; значение |a| показывает, насколько парабола растянута или сжата по сравнению с y = x². Это позволяет построить примерный вид графика ещё до вычисления точек.

Вершина параболы — её главная точка с координатами (−k; l). При a > 0 в вершине функция принимает наименьшее значение, а при a < 0 — наибольшее. Знание вершины помогает определить область значений и направление изменения функции.

Ось симметрии параболы — прямая x = −k, относительно которой левая и правая части графика совпадают. Точки с одинаковым расстоянием от этой прямой имеют одинаковые значения функции. Поэтому ось симметрии удобно использовать при построении графика и поиске пар симметричных точек.

Как это устроено

Исходным графиком служит парабола y = x². В формуле y = a(x + k)² + l сначала выражение x + k сдвигает график по горизонтали: при k > 0 сдвиг идёт влево на k, а при k < 0 — вправо на |k|. Число l затем поднимает график вверх или опускает вниз. Коэффициент a растягивает или сжимает параболу, а при отрицательном знаке ещё и отражает её относительно оси Ox.

Координаты вершины можно получить без построения. Квадрат (x + k)² равен нулю только при x = −k, поэтому в этой точке слагаемое с коэффициентом a исчезает и остаётся y = l. Следовательно, вершина имеет координаты (−k; l), а вертикальная прямая через неё, x = −k, становится осью симметрии.

Знак a определяет, куда направлены ветви, потому что квадрат всегда неотрицателен. При a > 0 добавка a(x + k)² не уменьшает значение l, и все точки лежат не ниже вершины; при a < 0 эта добавка неположительна, поэтому точки лежат не выше вершины. Модуль |a| определяет силу изменения: большое значение делает ветви круче и уже, а число между 0 и 1 — положе и шире.

Область определения состоит из всех действительных чисел: возвести в квадрат можно любое x. При a > 0 функция убывает на (−∞; −k) и возрастает на (−k; +∞), а её множество значений — [l; +∞). При a < 0 порядок меняется: функция возрастает слева от вершины и убывает справа, а значения принадлежат промежутку (−∞; l].

Чтобы найти нули, приравнивают функцию к нулю: a(x + k)² + l = 0. После деления на a получают (x + k)² = −l/a, поэтому решение существует только при −l/a ≥ 0. При положительном правом выражении нулей два, при нулевом — один, а при отрицательном — ни одного.

Свойства функции y = a(x + k)² + l

Таблица собирает свойства, которые можно получить из формулы без полного построения графика. В последнем столбце описано, какие признаки нужно искать на параболе. Сначала определяйте вершину и знак a, а затем остальные характеристики.

Разбор задач

Задача 1

Для функции y = (x − 2)² + 1 найдём вершину, ось симметрии, область значений и промежутки монотонности. Сначала приведём скобку к виду x + k, чтобы правильно определить знак параметра. Затем используем знак коэффициента перед квадратом.

1. Имеем x − 2 = x + (−2), значит k = −2, а l = 1. Вершина равна (−k; l) = (2; 1).
2. Ось симметрии проходит через абсциссу вершины: x = 2. Коэффициент a = 1 > 0, поэтому ветви направлены вверх.
3. Функция убывает на (−∞; 2) и возрастает на (2; +∞). Её область значений: y ∈ [1; +∞), а область определения — все действительные числа.

Ответ: вершина (2; 1), ось симметрии x = 2, область значений [1; +∞); функция убывает на (−∞; 2) и возрастает на (2; +∞).

Задача 2

Построим график y = −2(x + 1)² + 4, начиная с y = x². Нужно определить последовательность преобразований и положение вершины. Отрицательный коэффициент подскажет, куда направятся ветви.

1. Выражение x + 1 означает сдвиг графика y = x² влево на 1, а +4 — сдвиг вверх на 4. Поэтому вершина переходит из (0; 0) в точку (−1; 4).
2. Множитель 2 растягивает график по вертикали, делая его уже. Знак минус отражает параболу относительно оси Ox, поэтому ветви направлены вниз.
3. Для построения можно взять симметричные значения: при x = 0 и x = −2 получаем y = 2, а при x = 1 и x = −3 получаем y = −4. Нанесите эти точки и соедините их плавной параболой.

Ответ: вершина (−1; 4), ветви направлены вниз; график получен сдвигом влево на 1, вверх на 4, растяжением в 2 раза и отражением.

Задача 3

График y = 3(x + k)² + l имеет вершину (−4; 2), поэтому координаты вершины сразу дают оба параметра. После этого проверим, пересекает ли парабола ось Ox. Коэффициент 3 положителен, значит вершина будет минимумом.

1. Из равенства −k = −4 получаем k = 4, а из равенства l = 2 получаем l = 2. Формула принимает вид y = 3(x + 4)² + 2.
2. Для нулей решаем 3(x + 4)² + 2 = 0. Тогда (x + 4)² = −2/3, но квадрат не может быть отрицательным.
3. То же видно по условию −l/a = −2/3 < 0. Следовательно, действительных нулей нет.

Ответ: k = 4, l = 2; функция y = 3(x + 4)² + 2 не имеет действительных нулей.

Типичные ошибки

Абсциссу вершины иногда записывают как k, а не −k. Такая ошибка появляется из-за невнимательного чтения скобок x + k. Проверьте себя подстановкой: при x = −k квадрат должен обратиться в ноль.

Параметры k и l могут перепутать местами. k меняет положение графика слева направо, а l поднимает или опускает его по вертикали. Полезная проверка: k виден в абсциссе вершины, l — в её ординате.

Некоторые считают, что отрицательный коэффициент a направляет ветви вверх. На самом деле при a < 0 значения квадратичной части неположительны, поэтому парабола открыта вниз. Достаточно посмотреть на знак перед квадратом.

Множество значений иногда записывают без учёта знака a. При a > 0 l — минимум, а при a < 0 l — максимум. Сначала определите направление ветвей, затем выбирайте нужную бесконечность в ответе.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать график y = x², координаты точек и основные преобразования графиков. Именно от базовой параболы получают сдвиги, растяжение, сжатие и отражение.

Функция помогает строить графики квадратичных функций и решать квадратные уравнения и неравенства графическим способом. Пересечения параболы с осью Ox показывают нули функции и корни соответствующего уравнения.

Вершинная форма особенно полезна при поиске наибольшего и наименьшего значения. По координатам вершины ответ часто находится сразу, без раскрытия скобок и применения формул корней.

Что запомнить

• Вершина графика y = a(x + k)² + l имеет координаты (−k; l).
• Ось симметрии параболы задаётся уравнением x = −k.
• При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
• Чем больше |a|, тем уже парабола; чем меньше |a|, тем она шире.
• Область определения функции — все действительные числа.
• При a > 0 функция имеет минимум l, а при a < 0 — максимум l.