"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Функция y = ax² задаёт зависимость, в которой квадрат независимой переменной x умножается на постоянное ненулевое число a. Её график — парабола с вершиной в начале координат и осью симметрии, совпадающей с осью y. Знак a показывает, куда направлены ветви, а модуль коэффициента — насколько они широкие. Эти свойства помогают строить график по нескольким точкам и сравнивать параболы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функцией вида y = ax² называют зависимость, заданную формулой, где x — независимая переменная, а a — постоянное число, не равное нулю. Каждому значению x соответствует значение y, которое находят по формуле. Переменная x может принимать любые действительные значения. Условие a ≠ 0 отличает эту функцию от постоянной функции y = 0.
Число a называют коэффициентом функции y = ax². Его знак определяет, в какую сторону направлены ветви графика, а модуль |a| влияет на ширину параболы. Разделение этих двух ролей помогает не путать, например, отражение графика с его изменением ширины. При сравнении парабол сначала смотрят на знак, а затем — на модуль коэффициента.
График функции y = ax² называют параболой. Это плавная кривая с одной вершиной и двумя ветвями, которые расходятся от неё в противоположные стороны. В зависимости от знака a ветви обращены вверх или вниз. Такая форма позволяет по графику увидеть, какие значения принимает функция и как они меняются.
Осью симметрии параболы называют прямую, по разные стороны от которой её части зеркально совпадают. Для графика y = ax² этой прямой служит ось y. Причина симметрии в том, что противоположные числа при возведении в квадрат дают одинаковый результат: x² = (−x)². Это свойство позволяет строить половину графика, а затем отражать точки относительно оси y.
Чтобы построить график по таблице, выбирают несколько значений x, подставляют каждое в формулу и вычисляют y. Например, для y = 2x² при x = −2, −1, 0, 1, 2 получаются значения y: 8, 2, 0, 2, 8. Затем отмечают на координатной плоскости точки (x; y) и соединяют их плавной линией. Чем больше точек выбрано, тем легче увидеть форму графика, но точки важно располагать аккуратно.
График проходит через начало координат, потому что при x = 0 значение выражения ax² равно нулю: a · 0² = 0. Поэтому точка (0; 0) всегда принадлежит графику, каким бы ни было ненулевое a. При этом значения функции для x и −x одинаковы, так как квадрат этих чисел совпадает. Значит, точки с такими абсциссами расположены зеркально по разные стороны от оси y.
Направление ветвей зависит от знака a, потому что x² не бывает отрицательным. Если a > 0, произведение ax² неотрицательно, и точки графика находятся на оси x или выше неё; ветви направлены вверх. Если a < 0, произведение неположительно, поэтому точки лежат на оси x или ниже неё, а ветви направлены вниз. В обоих случаях график касается оси x в начале координат и по другую сторону от неё не переходит.
Модуль коэффициента показывает, во сколько раз значения функции отличаются от значений x² при одном и том же x. Чем больше |a|, тем быстрее растёт модуль y при удалении от нуля, поэтому ветви оказываются круче и парабола уже. Если |a| меньше, значения y по модулю меняются медленнее и парабола шире. Например, y = 3x² уже, чем y = x², а y = ½x² шире.
Вершина параболы находится в начале координат, потому что именно при x = 0 квадрат переменной и значение функции равны нулю. По мере удаления от нуля x² увеличивается, поэтому вершина задаёт точку, от которой ветви расходятся. Ось симметрии совпадает с осью y, так как каждой точке с абсциссой x соответствует точка с абсциссой −x и той же ординатой. Поэтому вершина лежит на этой оси, а левая и правая части графика зеркальны.
| Свойство | a > 0 | a < 0 |
|---|---|---|
| Область определения | Все действительные числа | Все действительные числа |
| Множество значений | y ≥ 0 | y ≤ 0 |
| Направление ветвей | Вверх | Вниз |
| Вершина и ось симметрии | Вершина (0; 0), ось y | Вершина (0; 0), ось y |
| Промежутки возрастания и убывания | Убывает при x ≤ 0, возрастает при x ≥ 0 | Возрастает при x ≤ 0, убывает при x ≥ 0 |
| Расположение графика относительно оси x | Выше оси x, кроме точки (0; 0) | Ниже оси x, кроме точки (0; 0) |
В таблице сравнивайте свойства по знаку коэффициента: область определения и положение вершины не меняются, а направление ветвей и промежутки монотонности зависят от знака a. Множество значений показывает, какие y возможны. График в обоих случаях проходит через начало координат и имеет с осью x только эту общую точку.
Нужно получить несколько точек, чтобы увидеть форму параболы и её симметрию. Возьмём значения x от −2 до 2: они удобны тем, что образуют пары противоположных чисел. Подставим их в формулу и вычислим соответствующие значения y. После этого отметим точки на координатной плоскости.
Коэффициент положительный, поэтому ветви направлены вверх. Таблица помогает поставить точки, а симметрия подсказывает, что график должен одинаково выглядеть слева и справа от оси y. Ответ: график — парабола с вершиной (0; 0), ветвями вверх и осью симметрии y.
Обе функции имеют вид y = ax², поэтому их графики — параболы с вершиной в начале координат и одинаковым направлением ветвей. Чтобы сравнить ширину, достаточно сопоставить модули коэффициентов. Не нужно строить оба графика целиком, хотя проверка по нескольким точкам тоже помогает убедиться в выводе.
У обеих парабол ветви направлены вверх, так как коэффициенты положительны. Отличается их ширина: больший модуль коэффициента делает график более узким. Ответ: парабола y = 3x² уже, чем парабола y = x².
Известно, что точка (2; 8) принадлежит графику функции y = ax². Это значит, что при x = 2 значение функции равно 8. Подставим обе координаты в формулу и найдём коэффициент, после чего по его знаку определим направление ветвей.
Проверка: при x = 2 формула y = 2x² даёт y = 2 · 4 = 8, то есть исходная точка действительно лежит на графике. Если бы коэффициент оказался отрицательным, ветви были бы направлены вниз. Ответ: a = 2, ветви направлены вверх.
Иногда считают, что коэффициент a может быть равен нулю. Такое происходит, если забыть, что в условии речь идёт именно о функции вида y = ax² с ненулевым коэффициентом. При a = 0 получается y = 0, то есть постоянная функция. Проверьте себя подстановкой: если формула не зависит от x, это уже не квадратичная функция данного вида.
Другая ошибка — путать влияние знака и модуля коэффициента: считают, что отрицательное число обязательно делает параболу шире. На самом деле знак меняет направление ветвей, а ширину определяет модуль |a|. Чтобы проверить вывод, отдельно выясните, куда направлены ветви, и отдельно сравните модули коэффициентов.
При построении графика могут отметить точки только для положительных x и не отразить их относительно оси y. Так теряется симметрия и график получается неполным или неверным. Для каждой точки с абсциссой x найдите точку с абсциссой −x и той же ординатой. Проверка простая: в обеих координатах x² должно иметь одно и то же значение.
Некоторые полагают, что при a < 0 парабола совсем не пересекает ось x. Поскольку ветви направлены вниз, легко забыть про вершину, где значение функции равно нулю. Подставьте x = 0: получите y = 0, значит, график проходит через начало координат. В остальных точках значения y отрицательны, но сама точка пересечения с осью x остаётся.
Для работы с параболой нужны координатная плоскость, построение графиков по таблице и умение возводить числа в квадрат. Также пригодится понятие функции: оно помогает понимать, как каждому x соответствует значение y. График y = x² служит образцом для изучения того, как коэффициент меняет форму параболы.
Эти знания станут основой для изучения более общей квадратичной функции y = ax² + bx + c. Умение читать графики пригодится и при решении квадратных уравнений графическим способом: решения связывают с точками пересечения графиков. Свойства простейшей параболы помогают увидеть в более сложных задачах знакомую форму и понять роль коэффициентов.
Почему в функции y = ax² коэффициент a не может быть равен нулю?
Если a = 0, то при любом x получается y = 0, и график становится осью x. Это постоянная функция, а не квадратичная функция вида y = ax² с ненулевым коэффициентом.
Почему график y = ax² проходит через начало координат?
В начале координат x = 0. Подставим это значение: y = a · 0² = 0, поэтому точка (0; 0) принадлежит графику.
Как определить направление ветвей параболы?
Нужно посмотреть на знак коэффициента a. При a > 0 ветви направлены вверх, а при a < 0 — вниз.
Как понять, какая из двух парабол шире?
Сравните модули коэффициентов при x². Парабола с большим |a| уже, а с меньшим |a| — шире.
Почему точки графика с абсциссами x и −x симметричны?
Потому что при возведении в квадрат знак числа исчезает: x² = (−x)². Значит, для x и −x получаются одинаковые значения y, и точки находятся на одинаковом расстоянии от оси y.
1.2. Функция y = ах2 и её график
