2. Сравнение чисел

Определения и обозначения

Сравнение чисел — это определение того, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Например, при сравнении 4 и 7 выясняют, какое из них занимает более высокое положение в числовом порядке. Это нужно, чтобы упорядочивать числа и понимать, какое значение больше или меньше в задаче.

Знаки сравнения показывают результат сравнения: > означает «больше», < — «меньше», а = — «равно». Например, 8 > 5 читают «восемь больше пяти», а 2 < 6 — «два меньше шести». Острый конец знака > или < всегда обращён к меньшему числу, поэтому знаки помогают коротко и однозначно записать вывод.

Неравенство — это запись, в которой числа или выражения сравниваются с помощью знака > либо <. Запись 9 > 4 сообщает, что девять больше четырёх, а запись −3 < 1 — что минус три меньше единицы. Такие записи нужны, чтобы обозначать результат сравнения и задавать условия для чисел.

Числовая прямая — прямая с отмеченным нулём и числами, расположенными в порядке возрастания. Каждому числу соответствует точка на этой прямой: справа от нуля находятся положительные числа, слева — отрицательные. Расположение точек позволяет сравнить числа наглядно и проверить, какое из них больше.

Как это устроено

На числовой прямой числа возрастают слева направо. Поэтому из двух разных чисел больше то, чья точка расположена правее: при движении вправо значения увеличиваются, а при движении влево уменьшаются. Так можно сравнить числа, даже если их вид на письме не подсказывает ответ сразу.

Положительные числа лежат справа от нуля, отрицательные — слева. Среди положительных чисел правее расположено большее; например, 6 > 2, потому что точка 6 находится дальше вправо. Для отрицательного и положительного числа положение относительно нуля сразу показывает порядок: отрицательное левее, а значит, меньше положительного.

При сравнении двух отрицательных чисел полезно смотреть, какое из них ближе к нулю. Оно расположено правее, поэтому является большим: например, −3 > −8. Это объясняется направлением числовой прямой: от −8 к −3 мы движемся вправо, и значения возрастают, хотя расстояние от нуля становится меньше.

Числа разных знаков сравнивают по их положению относительно нуля. Положительное число находится справа от нуля, а отрицательное — слева, поэтому любое положительное число больше любого отрицательного. Например, 0,5 > −100: большое расстояние отрицательного числа от нуля не меняет его положения слева.

Сравнение можно проверить вычислением разности первого и второго чисел. Если a − b положительно, то при переходе от b к a значение увеличилось, значит, a > b; если разность отрицательна, то a < b. Когда разность равна нулю, числа равны, потому что между ними нет разницы.

Правила сравнения чисел

Сначала определи, к какому виду относятся сравниваемые числа: положительные они, отрицательные, разных знаков или равные. Затем примени соответствующее правило и проверь, что знак неравенства направлен к меньшему числу. Если сомневаешься, отметь числа на прямой.

Разбор задач

Задача 1. Сравните 4 и 7, используя числовую прямую. Чтобы не выбирать знак наугад, сначала определим положение каждой точки, а затем посмотрим, какая из них правее. Направление возрастания чисел на прямой идёт слева направо.

1. Отметим на прямой точки 4 и 7; обе они расположены справа от нуля.
2. Точка 7 находится правее точки 4, потому что 7 дальше от нуля в положительном направлении.
3. Значит, 7 больше 4. При записи ставим раскрытую часть знака к семи, а острый конец — к четырём.

Ответ: 4 < 7.

Задача 2. Сравните −3 и −8. Оба числа отрицательные, поэтому правило для положительных чисел напрямую применять нельзя. Сопоставим, какое число ближе к нулю и где оно находится на прямой.

1. Точки −3 и −8 находятся слева от нуля; −3 отстоит от нуля на 3 единицы, а −8 — на 8.
2. −3 ближе к нулю и расположен правее −8.
3. Правее расположено большее число, поэтому −3 больше −8.

Ответ: −3 > −8.

Задача 3. Сравните −2,5 и −2,7, обосновав ответ с помощью разности. Вычисление разности особенно удобно, когда числа десятичные и нужно надёжно определить направление сравнения. Вычтем из первого числа второе и исследуем знак результата.

1. Составим разность первого и второго числа: (−2,5) − (−2,7).
2. Вычитание отрицательного числа заменим сложением: −2,5 + 2,7 = 0,2.
3. Разность положительна, значит, первое число больше второго. Проверка на прямой даёт тот же вывод: −2,5 ближе к нулю, чем −2,7.

Ответ: −2,5 > −2,7.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что −8 больше −3, потому что 8 больше 3. Так рассуждают, если сравнивают только числа без знаков и забывают, что отрицательные значения находятся слева от нуля. Проверь ответ на прямой: −3 расположено правее −8, значит, −3 > −8.

Ошибка: считать отрицательное число больше положительного из-за его модуля — расстояния до нуля. Например, из того, что 100 больше 2, не следует, что −100 больше 2: отрицательное число всё равно расположено слева от нуля. Чтобы проверить себя, сравни сначала знаки чисел: положительное всегда больше отрицательного.

Ошибка: перепутать направление знака > или <. При чтении записи можно ошибочно направить острый конец к большему числу, хотя он должен смотреть на меньшее. Например, в записи 6 > 1 острый конец направлен к единице; прочитай знак вслух, чтобы проверить, верно ли он поставлен.

Ошибка: сравнивать только первые цифры или количество цифр, не учитывая положение чисел на прямой. Такой способ может дать неверный результат, особенно у отрицательных чисел и десятичных дробей. Сначала определи знак и расположение относительно нуля, а затем сравни числа на прямой или вычисли их разность.

Связь с другими темами

Для сравнения нужны знания о положительных и отрицательных числах, нуле и их расположении на числовой прямой. Умение сравнивать помогает решать неравенства и отмечать промежутки, то есть части прямой, содержащие подходящие числа. Позже этот навык пригодится при работе с рациональными числами и преобразовании выражений: он позволяет проверять, как изменяются значения.

Что запомнить

• На числовой прямой большее число расположено правее.
• Любое положительное число больше нуля и любого отрицательного числа.
• Любое отрицательное число меньше нуля.
• Из двух отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю.
• Знак > читают «больше», знак < — «меньше».
• Сравнить a и b можно по знаку разности a − b.