1. Числовые выражения

Определения и обозначения

Числовое выражение — это запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Например, 8 + 3 · 2 — числовое выражение: в нём есть числа и знаки сложения и умножения. Такое название помогает отличить запись с вычислениями от отдельного числа, например 8, которое само по себе не содержит действия.

Значение числового выражения — число, полученное после выполнения всех действий, входящих в запись. Например, значение выражения 8 + 3 · 2 равно 14, потому что сначала выполняют умножение, а затем сложение. Понятие значения нужно, чтобы отличать саму запись от результата вычисления и сравнивать результаты разных выражений.

Порядок действий — правила, по которым определяют последовательность вычислений в выражении. По этим правилам решают, какое действие выполнить первым, а какое — позже, если знаков несколько. Они нужны, чтобы все вычисляли выражение одинаково и получали один и тот же результат.

Как это устроено

Распознать числовое выражение можно по тому, что оно содержит числа и знаки арифметических действий; в записи также могут быть скобки. Например, 12 : 3 + 5 — выражение, а 12 — отдельное число. Различие важно: число можно сразу назвать, а для выражения обычно нужно выполнить действия, прежде чем получить его значение.

Действия выполняют в определённой последовательности, потому что знаки имеют разные приоритеты. Сначала считают то, что находится в скобках: так выполняются вычисления, которые скобки выделили как отдельную часть. Затем умножают и делят, а сложение и вычитание оставляют на конец; благодаря этому, например, 2 + 3 · 4 понимается как 2 + 12, а не как 5 · 4.

Умножение и деление относятся к одной ступени, как и сложение с вычитанием. Если в выражении подряд встречаются действия одной ступени, их выполняют слева направо. Умножение не получает преимущества перед делением, а сложение — перед вычитанием: например, в 20 : 5 · 2 сначала делят 20 на 5, затем умножают результат на 2.

Скобки задают, какие действия нужно выполнить раньше, даже если без них это действие имело бы более низкий приоритет. Сравним 2 · (3 + 4) и 2 · 3 + 4: в первой записи сначала складывают 3 и 4, а во второй — умножают 2 на 3. Поэтому скобки могут менять значение выражения, и их нельзя игнорировать или переносить на глаз.

Иногда запись не имеет значения, потому что в ней требуется деление на ноль. Например, 6 : (2 − 2) превращается в 6 : 0, а такое деление выполнить нельзя. В записи 0 : 5 делитель не равен нулю, поэтому результат существует и равен нулю; важно проверять именно число, на которое делят.

Порядок выполнения действий в числовом выражении

Пользуйся таблицей как планом: сначала найди скобки, затем проверь умножение и деление, после этого переходи к сложению и вычитанию. Если действий одной ступени несколько, выполняй их по очереди слева направо. После каждого шага записывай получившийся результат, чтобы не потерять порядок вычислений.

Разбор задач

Задача 1. Найти значение выражения 18 − 6 + 4. Здесь есть только вычитание и сложение, а это действия одной ступени. Поэтому нельзя сначала собрать слагаемые или начать с удобного на вид действия: вычисления идут слева направо.

1. Первым выполняем действие слева: 18 − 6 = 12.
2. В полученной записи 12 + 4 осталось одно действие: 12 + 4 = 16.

Ответ: 16. Проверка показывает, что каждое действие выполнено в порядке записи, без пропуска знака.

Задача 2. Найти значение выражения 24 : 6 + 3 · 2. Деление и умножение имеют более высокий приоритет, чем сложение. Между ними нет скобок, поэтому оба действия выполняем раньше сложения и идём слева направо.

1. Сначала делим: 24 : 6 = 4. Получаем 4 + 3 · 2.
2. Затем выполняем умножение: 3 · 2 = 6. Получаем 4 + 6.
3. В конце складываем: 4 + 6 = 10.

Ответ: 10. Если бы начать с 24 : 6 + 3, получилось бы неверно: сложение нельзя выполнять раньше умножения.

Задача 3. Найти значение выражения 36 : (3 + 3) + 2 · (5 − 1). Сначала вычисляем выражения в скобках, потому что они задают отдельные части вычислений. После этого определяем, какие действия остались и какой у них приоритет.

1. Вычисляем первую скобку: 3 + 3 = 6. Во второй скобке получаем 5 − 1 = 4.
2. Подставляем результаты: 36 : 6 + 2 · 4. Теперь сначала выполняем деление и умножение.
3. Выполняем деление: 36 : 6 = 6; умножение: 2 · 4 = 8. Остаётся 6 + 8.
4. Складываем: 6 + 8 = 14.

Ответ: 14. Делитель равен 6, а не нулю, поэтому деление допустимо.

Типичные ошибки

Выполнять все действия слева направо. Так часто делают, потому что привыкли читать запись по порядку, но сложение и вычитание не всегда выполняются сразу. Например, в выражении 24 : 6 + 3 · 2 сначала нужно выполнить деление и умножение. Проверь себя: подчеркни действия разных ступеней и убедись, что сложение не началось раньше них.

Считать, что умножение всегда раньше деления или сложение раньше вычитания. Знаки внутри каждой такой пары имеют одинаковую ступень, поэтому решает их расположение в записи. Например, в 20 : 5 · 2 сначала выполняют деление. Проверь себя, двигаясь по действиям одной ступени слева направо.

Пропускать скобки или выполнять действия вне них раньше. Это происходит, если воспринимать скобки как украшение записи, хотя они задают очередность. В выражении 36 : (3 + 3) сначала нужно найти сумму в скобках. Проверь себя: перед вычислением отметь скобки и замени каждую скобку её результатом.

Делить на ноль. Ошибка появляется, если не вычислить делитель, записанный в скобках, или не проверить результат промежуточного шага. Например, в 6 : (2 − 2) делитель становится равен нулю, поэтому выражение не имеет значения. Перед каждым делением вычисли делитель и убедись, что он не равен нулю.

Связь с другими темами

Для вычисления числовых выражений нужно уверенно выполнять сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел и дробей. Если сами действия пока вызывают затруднение, порядок действий не заменит знание правил вычисления, а только подскажет, с чего начинать. Поэтому при разборе выражения полезно отдельно проверять и порядок, и точность каждого вычисления.

Те же правила понадобятся при работе с выражениями, содержащими буквы: порядок действий помогает правильно вычислять их значения. Он также важен при раскрытии скобок и преобразовании формул, потому что неверная очередность меняет запись и результат. Умение сначала увидеть структуру выражения упрощает переход к более сложным алгебраическим задачам.

Что запомнить

• Числовое выражение состоит из чисел и знаков действий.
• Значение выражения находят, выполняя все допустимые действия.
• Сначала выполняют действия в скобках.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одной ступени выполняют слева направо.
• На ноль делить нельзя.