"Алгебра", Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В.
Выражение — это запись, в которой числа и, возможно, буквы соединены знаками арифметических действий. Оно помогает описывать вычисления и зависимости между величинами: например, формула 3a + 2 задаёт результат для разных значений a. Чтобы найти значение выражения, нужно выполнить действия по правилам порядка или подставить числа вместо букв и вычислить. При этом важно проверить, что делить на ноль не придётся.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, например 12 − 3 · 2. Запись имеет смысл, если все действия в ней можно выполнить. Например, деление на ноль невозможно, поэтому запись 5 : 0 не имеет смысла. Понятие выражения помогает описать вычисление до того, как мы найдём его результат.
Буквенное выражение — запись, в которой есть числа, буквы и знаки действий, например 3a + 2. Буквы обозначают числа, а их значения могут быть заданы условием или выбраны для вычисления. Благодаря буквам можно одной записью описать много похожих случаев. Это полезно, когда нужно выразить зависимость между величинами.
Значение выражения — число, полученное после выполнения всех указанных действий или после подстановки чисел вместо букв. Например, значение выражения 7 + 2 равно 9. Если выражение содержит буквы, его значение зависит от того, какие числа вместо них взяты. Понятие значения позволяет отвечать на вопросы о результате конкретного вычисления.
Подстановка значения переменной — замена буквы выбранным числом с последующим вычислением выражения. Например, при a = 4 выражение 3a + 2 превращается в 3 · 4 + 2. Так буквенная запись становится числовой, и её можно посчитать. Подстановка нужна, чтобы узнать результат для конкретных значений величин.
По знакам и скобкам в записи можно понять, какие действия нужно выполнить, но порядок важен. Сначала считают то, что заключено в скобки, затем выполняют умножение и деление, а в конце — сложение и вычитание. Умножение и деление связывают числа теснее, чем сложение и вычитание, поэтому их выполняют раньше. Если действия одного уровня стоят рядом, их выполняют слева направо.
Буквы позволяют записать зависимость, которая сохраняется при разных числовых значениях, а не один частный пример. Например, выражение 3a + 2 задаёт число, которое получится, если выбранное a умножить на 3 и прибавить 2. При a = 1 результат равен 5, а при a = 4 — 14. Одна формула подходит для обоих случаев и многих других, поэтому не нужно каждый раз придумывать новую запись.
Чтобы найти значение буквенного выражения, вместо букв подставляют заданные числа, а затем считают по правилам порядка действий. Отрицательное число удобно записать в скобках: при x = −2 выражение x + 6 становится (−2) + 6. Скобки помогают не перепутать знак числа со знаком действия. После подстановки нужно внимательно выполнить вычисления, учитывая и скобки, и порядок действий.
При разных значениях букв результат может меняться, потому что сами действия выполняются над другими числами. Кроме того, для некоторых подстановок запись перестаёт иметь смысл. Например, в выражении (x + 6) / (x − 2) при x = 2 знаменатель обращается в ноль, а на ноль делить нельзя. Поэтому до вычислений проверяют, разрешены ли все действия при выбранных значениях.
Чтобы сравнить два выражения при заданных значениях букв, сначала находят значение каждого из них отдельно. Затем сопоставляют полученные числа: например, выясняют, какое больше, или проверяют, равны ли они. Нельзя сравнивать записи только по их внешнему виду, потому что разные выражения при конкретных значениях могут дать одинаковый результат. Такой способ надёжен, если в обоих выражениях использованы одни и те же значения букв.
| Что рассматриваем | Числовое выражение | Буквенное выражение |
|---|---|---|
| Из чего состоит запись | Из чисел, знаков действий и скобок | Из чисел, букв, знаков действий и скобок |
| Пример | 18 − 2 · (5 + 1) | 3a + 2 |
| Как находят значение | Выполняют действия по порядку | Подставляют числа вместо букв и выполняют действия |
| Что может изменяться | Числа в записи обычно уже заданы | Значения букв, заданные условием или выбранные для вычисления |
| Когда выражение не имеет смысла | Когда невозможно выполнить действие, например деление на ноль | Когда при подстановке невозможно выполнить действие, например знаменатель равен нулю |
Сначала определите, содержит ли запись буквы: это поможет понять, нужна ли подстановка. Затем найдите значение по порядку действий и проверьте, что все действия допустимы. Строка о том, когда выражение не имеет смысла, особенно полезна при работе с делением.
В записи есть скобки, умножение и вычитание. Если считать просто слева направо, можно ошибочно вычесть 2 раньше времени. Поэтому сначала выполним действие в скобках, затем умножение и только потом вычитание.
Ответ: 6. Проверка порядка действий подтверждает, что сначала нужно было умножить, а не вычитать 18 − 2. Если бы скобок не было, значение выражения могло бы быть другим.
Буква a обозначает число, равное 4 по условию. Чтобы узнать значение выражения, заменим a этим числом. После подстановки останется числовое выражение, которое вычислим по правилам.
Ответ: 14. Число получилось для конкретного значения a = 4. При другом значении a результат мог бы измениться, хотя сама запись 3a + 2 осталась бы прежней.
Здесь буква стоит и в числителе, и в знаменателе, поэтому нужно заменить x в обеих частях дроби. Одновременно следует проверить, не станет ли знаменатель нулём. Эта проверка важна до вычисления, так как деление на ноль невозможно.
Ответ: при x = 5 значение выражения равно 11 / 3. При x = 2 выражение не имеет смысла, потому что знаменатель равен нулю. Значит, перед вычислением дробного выражения нужно проверять знаменатель.
Иногда действия выполняют слева направо и забывают, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием. Так ошибаются, потому что привычно читать запись последовательно, как обычную фразу. Проверьте себя: сначала найдите скобки, затем выполните умножение и деление, и только после этого переходите к сложению и вычитанию.
При подстановке отрицательное число могут записать без скобок и неверно определить знак результата. Причина в том, что знак числа легко спутать со знаком действия рядом с буквой. Проверяйте запись на примере: если a = −3, то 2a следует заменить на 2 · (−3), а не воспринимать как вычитание. Скобки ясно показывают, что отрицательное число подставлено целиком.
Ещё одна ошибка — считать, что буква всегда обозначает одно заранее заданное число. Такое впечатление может возникнуть потому, что в отдельных задачах значение переменной действительно дано. Но без условия буква может принимать разные допустимые значения, и результат выражения будет меняться. Чтобы проверить себя, выясните, указано ли конкретное значение буквы в задаче.
Иногда подставляют число, при котором получается деление на ноль. Это происходит, если считают, что подстановка всегда разрешена и не проверяют знаменатель. Перед вычислением дробного выражения найдите значение знаменателя при выбранной переменной. Если оно равно нулю, такая подстановка недопустима, и выражение не имеет смысла.
Для работы с выражениями нужно уметь умножать и делить натуральные и целые числа, знать таблицу умножения, скобки и порядок действий. Если эти навыки не закреплены, вычисления после подстановки будут затруднены, даже когда сама идея ясна. Буквенные выражения пригодятся дальше при изучении уравнений, формул, тождественных преобразований и функций. Они позволяют описывать вычисления и зависимости с помощью общей записи.
Чем буквенное выражение отличается от уравнения?
Буквенное выражение задаёт вычисление, например 3a + 2. Уравнение содержит знак равенства и требует найти значение неизвестной, при котором равенство верно. Поэтому у выражения обычно вычисляют значение при заданной букве, а уравнение решают.
Почему в выражении буквы можно заменять разными числами?
Буква обозначает число, значение которого задаётся условием или выбирается для вычисления. Так одна запись описывает сразу много случаев, а не только один пример. Например, 3a + 2 можно посчитать при разных значениях a.
В каком порядке выполнять действия в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо. Этот порядок помогает получить для одной записи одинаковый результат.
Зачем отрицательное число при подстановке заключать в скобки?
Скобки показывают, что вместо буквы подставлено целое отрицательное число. Без них легко принять знак числа за знак действия и ошибиться. Например, при a = −3 запись 2a означает 2 · (−3).
Как понять, при каких значениях переменной выражение не имеет смысла?
Нужно проверить, не возникает ли действие, которое выполнить нельзя. В частности, если выражение содержит дробь, знаменатель не должен быть равен нулю. Для (x + 6) / (x − 2) нельзя брать x = 2.
§ 1. Выражения
