"Алгебра", Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В.
Выражение — это запись, составленная из чисел, букв и знаков действий; она помогает описывать вычисления и зависимости между величинами. Если в записи есть только числа, её значение находят обычными вычислениями. Если есть буквы, они обозначают переменные, и результат зависит от того, какие числа вместо них подставить. Чтобы вычислить выражение правильно, соблюдают порядок действий и проверяют, допустимы ли выбранные значения переменных: например, делить на ноль нельзя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел и знаков действий. Например, 18 − 2 · 5 — числовое выражение. Оно имеет смысл, если все действия можно выполнить, а его значение получают, соблюдая порядок действий. Это понятие нужно, чтобы записывать вычисления коротко и однозначно.
Буквенное выражение — запись, в которой вместе с числами и знаками действий могут быть переменные, то есть буквы, обозначающие числа. Примеры: 3a + 7 и 12/(x − 3). Значение такой записи зависит от того, какие числа выбраны вместо букв. Буквенные выражения позволяют записывать вычисления сразу для разных чисел.
Значение выражения — число, которое получается после выполнения всех действий в выражении. Например, значение выражения 18 − 2 · 5 равно 8. Результат показывает, к какому числу приводит записанный порядок вычислений. Если в записи есть переменные, значение определяют для конкретного набора их значений.
Подстановка значения переменной — замена буквы соответствующим числом с последующим вычислением выражения. Например, если a = 4, то в записи 3a + 7 вместо a пишут 4. После замены выполняют действия по установленным правилам. Подстановка нужна, чтобы узнать конкретный результат буквенного выражения.
Выражение составляют из чисел или переменных, знаков действий и, если нужно, скобок. Например, из числа 5 и переменной x можно записать сумму 5 + x, а затем умножить её на 2: 2 · (5 + x). Скобки показывают, какие части записи нужно рассматривать вместе. Благодаря им можно точно передать, в каком порядке выполняются вычисления.
Порядок действий нужен, чтобы разные люди одинаково понимали одну и ту же запись. Сначала выполняют действия в скобках, потому что они выделяют часть выражения, которую нужно вычислить раньше остальных. Затем выполняют умножение и деление, а после — сложение и вычитание; действия одного уровня выполняют слева направо. Поэтому в выражении 18 − 2 · 5 сначала находят произведение 2 · 5, а не вычитают 2 из 18.
Одинаковое буквенное выражение может давать разные результаты, потому что буква обозначает число, которое может меняться. Например, в выражении 3a + 7 при a = 1 получится 10, а при a = 4 — 19. Сам порядок вычислений остаётся тем же, но умножается уже другое число. Поэтому, говоря о значении буквенного выражения, всегда учитывают значение переменной.
Чтобы найти значение буквенного выражения, заменяют буквы заданными числами и вычисляют получившуюся числовую запись. Например, при a = 4 выражение 3a + 7 превращается в 3 · 4 + 7. Сначала выполняют умножение, затем сложение и получают 19. Если переменных несколько, нужно подставить значение каждой из них, а затем действовать по тому же порядку.
Не всякое число можно подставить в выражение: некоторые значения приводят к действию, которое выполнить нельзя. Например, деление на ноль не определено. В записи 12/(x − 3) знаменатель станет нулём при x = 3, поэтому такое значение переменной исключают. Перед вычислением полезно проверить, не обращается ли знаменатель в ноль.
| Признак | Числовое выражение | Буквенное выражение |
|---|---|---|
| Какие элементы входят в запись | Числа и знаки действий | Числа, переменные и знаки действий |
| От чего зависит значение | От записанных чисел и действий | От значений переменных и действий |
| Как найти значение | Выполнить действия по порядку | Подставить числа вместо букв и выполнить действия |
| Когда выражение имеет смысл | Когда все действия допустимы | Когда выбранные значения не приводят к запрещённым действиям |
| Пример | 18 − 2 · 5 | 3a + 7 |
Сравнивайте записи по строкам: так видно, есть ли в них переменные и от чего зависит результат. Строка о смысле выражения напоминает, что перед вычислением нужно проверить допустимость действий. Для буквенного выражения сначала учитывают значения переменных, а затем выполняют вычисления.
В записи есть умножение и вычитание, поэтому нельзя сразу считать слева направо. Умножение выполняют раньше вычитания, а число 18 оставляют без изменений до следующего шага. Так мы соблюдаем общий порядок действий и получаем правильный результат.
Ответ: 8.
Переменная a равна 4, поэтому заменяем ею эту букву во всём выражении. Получается числовая запись 3 · 4 + 7. В ней сначала выполняют умножение, а сложение — после него; запись 3a означает произведение 3 и a.
Ответ: 19.
В выражении есть деление, поэтому нужно проверить знаменатель: делитель не может равняться нулю. Найдём, при каком x разность x − 3 становится нулём, и исключим это значение. Затем отдельно подставим x = 5 и вычислим дробь, убедившись, что выбранное значение допустимо.
Ответ: выражение имеет смысл при x ≠ 3; при x = 5 его значение равно 6.
Первая ошибка — выполнять действия только слева направо и не учитывать их порядок. Так часто поступают, потому что читают запись как обычную строку, но умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Например, в 18 − 2 · 5 сначала считают 2 · 5. Для проверки отметьте порядок действий до вычисления или расставьте промежуточные скобки.
Вторая ошибка — подставить отрицательное число без скобок там, где важно сохранить число целиком. Из-за этого можно неверно понять, к чему относится знак минус: например, при a = −2 запись a² означает (−2)². Чтобы проверить себя, замените букву числом в скобках, а затем примените нужные действия. Это помогает не потерять знак подставленного числа.
Третья ошибка — считать, что буквенное выражение всегда имеет одно значение. Такое представление возникает, если забыть, что переменная может принимать разные числа: например, 3a + 7 при a = 1 и при a = 4 даёт разные результаты. Проверяйте, какие значения переменных заданы в условии. Если они изменились, вычисление нужно выполнить заново.
Четвёртая ошибка — не проверять знаменатель перед делением. Если подстановка обращает знаменатель в ноль, вычисление невозможно, хотя остальные части записи могут выглядеть обычными. Например, в 12/(x − 3) нельзя брать x = 3. Для самопроверки найдите, при каких значениях знаменатель равен нулю, и исключите их до подстановки.
Для работы с выражениями нужны арифметические действия с целыми числами и знание порядка действий. Когда выражения освоены, их используют для составления формул и решения уравнений: формула записывает зависимость величин, а уравнение помогает найти неизвестное число. Подстановка связывает эту тему с функциями, где по заданному значению аргумента вычисляют соответствующее значение функции. Поэтому умение аккуратно заменять буквы числами пригодится и в следующих темах.
Чем числовое выражение отличается от буквенного?
Числовое выражение составлено из чисел и знаков действий, поэтому его можно вычислить, если все действия имеют смысл. В буквенном выражении есть переменные, и его значение зависит от чисел, которые подставляют вместо букв.
Как правильно подставить число вместо переменной?
Замените каждую букву заданным числом, а затем выполните действия в установленном порядке. Если подставляете отрицательное число, заключите его в скобки, когда это помогает сохранить правильный знак и порядок вычислений.
Почему отрицательное число иногда нужно брать в скобки?
Скобки показывают, что отрицательное число подставляется целиком, а не только его положительная часть. Например, при a = −2 выражение a² превращается в (−2)² = 4, а не в −2².
Как определить порядок действий в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках. Затем умножение и деление, после них — сложение и вычитание; действия одного уровня выполняют слева направо.
Как понять, при каких значениях переменной выражение не имеет смысла?
Проверьте, не приводит ли подстановка к запрещённому действию. В частности, знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому нужно найти значения переменной, обращающие его в ноль, и исключить их.
29. Выражения
