"Алгебра", Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В.
Число вариантов показывает, сколькими различными способами можно выполнить условие задачи. Оно помогает не перечислять все возможности по одной, а находить их количество с помощью правил сложения и умножения. Сложение используют, когда выбирают один из взаимоисключающих способов; умножение — когда выбор проходит в несколько последовательных этапов. Дерево вариантов помогает увидеть этапы и проверить, что ничего не пропущено и не посчитано дважды.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Число вариантов — количество различных способов выполнить условие задачи. Например, если требуется выбрать блюдо, каждый подходящий выбор считается способом. Это понятие нужно, чтобы ответить не только на вопрос «что можно выбрать?», но и на вопрос «сколько разных выборов возможно?».
Правило сложения — способ подсчёта, который применяют, когда выбирают один из нескольких взаимоисключающих вариантов. Взаимоисключающими называют такие способы, которые нельзя выполнить одновременно в рамках одного выбора. Если подходит один способ или другой, общее количество находят сложением; это правило помогает разделить варианты на отдельные группы.
Правило умножения — способ подсчёта последовательного выбора, при котором количества вариантов на этапах перемножаются. Например, сначала выбирают одежду одного вида, а затем другого. Правило удобно, когда каждый результат первого этапа можно сочетать с результатами следующего.
Дерево вариантов — схема, показывающая все возможные последовательности выборов в виде разветвлений. От каждой ветви выбора одного этапа отходят ветви следующего этапа. Такая схема нужна, чтобы проследить все пути от начала до результата, увидеть пропуски и не учесть один путь дважды.
Прежде всего реши, что именно считается отдельным вариантом. Два результата различаются, если по условию это разные способы выполнить задачу: например, выбрать рубашку другого цвета или пройти по другой дороге. Но если результат один и тот же, а отличается лишь порядок, в котором ты его записал, повторно считать его нельзя. Поэтому сначала сформулируй признак, по которому будешь сравнивать варианты.
Сложение подходит для выбора «или»: берётся один способ из нескольких, а группы вариантов не пересекаются. Если в одной группе m способов, а в другой n, каждый подходящий выбор окажется ровно в одной группе. Значит, чтобы посчитать все способы, нужно объединить размеры групп: m + n. Если же один и тот же результат попал в обе группы, простое сложение посчитает его дважды — группы нужно уточнить.
Умножение возникает при выборе «и»: нужно выполнить первый этап, а затем второй. Если первый этап можно пройти m способами, то для каждого из них доступны n продолжений; получается m групп по n результатов, то есть m × n. Если на разных ветвях число продолжений меняется, нельзя автоматически перемножать два числа: следует рассмотреть ветви отдельно и сложить число результатов в них.
Чтобы разобрать сложную ситуацию, выпиши этапы в том порядке, в котором выполняются выборы. Для каждого этапа укажи доступные варианты и проверь, не зависит ли следующий выбор от предыдущего. Если все этапы дают одинаковое количество продолжений, их числа можно перемножить; если условия различаются, разбей задачу на случаи. Внутри каждого случая считай последовательные этапы, а результаты разных взаимоисключающих случаев складывай.
Проверить подсчёт можно перечислением или деревом вариантов. В дереве каждый выбор на первом этапе становится отдельной ветвью, а следующие выборы дорисовываются от неё; полный путь от начала до конца соответствует одному результату. Пересчитай конечные ветви и сравни их число с ответом. Если две ветви описывают один и тот же результат или один результат не попал ни в одну ветвь, дерево нужно исправить.
| Ситуация | Условие применения | Действие | Общий вид | Пример ситуации |
|---|---|---|---|---|
| Выбор одного из взаимоисключающих способов | Выбирают только один способ, группы не пересекаются | Сложить количества | m + n | Выбрать суп или салат |
| Последовательный выбор на двух этапах | Каждый вариант первого этапа можно продолжить каждым вариантом второго | Перемножить количества | m × n | Выбрать рубашку и брюки |
| Последовательный выбор на нескольких этапах | На каждом этапе одинаковое число продолжений | Перемножить количества всех этапов | m₁ × m₂ × … × mₖ | Собрать комплект из нескольких предметов |
| Подсчёт с помощью дерева вариантов | Нужно увидеть последовательности выборов и их продолжения | Построить ветви и посчитать полные пути | Число путей от начала до конца | Проложить путь по дорогам через промежуточный город |
| Проверка результата перечислением | Вариантов достаточно мало, чтобы записать их все | Составить список и проверить повторы | Число записанных различных результатов | Перечислить все сочетания двух предметов |
Сначала найди в таблице ситуацию, похожую на условие задачи, затем проверь, выполняется ли указанное условие применения правила. Если количество продолжений отличается на разных ветвях, дерево или разбор случаев надёжнее одного умножения. Перечисление особенно полезно как проверка для небольших задач.
Задача. В столовой можно выбрать один из 4 видов супа или один из 3 видов салата. Сколько существует вариантов выбора одного блюда? Слово «или» здесь означает, что выбирается только одно блюдо, поэтому выбор супа и выбор салата образуют разные, не пересекающиеся группы.
Посчитаем варианты выбора супа: их 4.
Посчитаем варианты выбора салата: их 3.
Выбирается одно блюдо, поэтому сложим количества: 4 + 3 = 7.
Ответ: 7 вариантов.
Задача. Ученик выбирает одну из 5 рубашек и одни из 3 брюк. Сколько различных комплектов можно составить? Здесь нужны обе части комплекта, значит, выбор идёт последовательно: сначала рубашка, затем брюки. Каждую рубашку можно сочетать с любой из трёх пар брюк.
Для первого этапа есть 5 вариантов — пять рубашек.
Для каждой выбранной рубашки есть 3 продолжения — брюки.
Получаем 5 × 3 = 15 комплектов. Это 5 групп по 3 комплекта, причём каждый комплект имеет свою рубашку или свои брюки.
Ответ: 15 комплектов.
Задача. Из города A в город B ведут 3 дороги, а из B в город C — 4 дороги. Сколько существует маршрутов из A в C через B, если некоторые маршруты затем объединяются? Маршрут задаётся последовательностью дорог: даже если дороги позднее сходятся, пройденные разными путями участки остаются частью разных маршрутов.
Нарисуем начало дерева: из A выходят 3 ветви, по одной на каждую дорогу до B.
От конца каждой ветви проведём 4 продолжения — дороги из B в C. Всего получится 3 группы по 4 полных пути.
Посчитаем конечные ветви: 3 × 4 = 12. Слияние дорог не объединяет уже различающиеся последовательности в один маршрут.
Проверим: для каждой из 3 дорог до B можно отдельно выбрать любую из 4 дорог до C, поэтому ни один выбор пары дорог не пропущен и пары не повторяются.
Ответ: 12 маршрутов.
Складывают при последовательном выборе. Так бывает, когда замечают несколько этапов, но не учитывают, что каждый выбор первого этапа можно соединить с каждым выбором второго. Например, рубашку и брюки нельзя считать как «число рубашек плюс число брюк»: так не получатся комплекты. Проверь себя вопросом: в ответе должен быть выбран один предмет или сочетание предметов?
Перемножают при взаимоисключающем выборе. Ошибка возникает, если принять любое слово «или» за последовательность этапов. При выборе одного супа или одного салата одновременно оба блюда не берут, поэтому перемножение создаёт несуществующие пары. Проверь, требуется ли выполнить оба действия; если выбирается только один способ, обычно нужно сложение.
Считают один и тот же вариант разным из-за порядка перечисления. Это случается, если список записывают без правила и, например, одну и ту же пару называют сначала в одном, затем в обратном порядке. Заранее установи, что именно отличает результат, и записывай варианты в постоянном порядке. Для проверки сравни результаты по условию, а не по порядку записи.
Пропускают этап или повторно считают вариант в ветвях дерева. При длинной цепочке выборов легко забыть продолжение одной ветви или внести одинаковый путь дважды. Проверь, что у каждого этапа есть обозначение и каждому полному пути соответствует один результат. Пересчёт конечных ветвей и сверка с небольшим списком помогают обнаружить ошибку.
Для таких задач нужны навыки сложения и умножения натуральных чисел, а также умение внимательно читать условие: именно из него становится ясно, какие результаты считать разными и какие выборы допустимы. Правила подсчёта пригодятся при изучении комбинаторики — раздела математики о способах выбора и расположения объектов. Они также помогают решать задачи на вероятность: чтобы оценить вероятность события, часто сначала считают все возможные и подходящие результаты.
Число вариантов показывает, сколько различных способов удовлетворяют условию.
При взаимоисключающих способах выбора количества складывают.
При последовательном выборе количества вариантов перемножают.
Каждый этап выбора нужно описать отдельно.
Дерево вариантов помогает увидеть все способы и избежать пропусков.
Одинаковые результаты не следует считать несколько раз.
Полученный результат полезно проверять непосредственным перебором.
Когда числа вариантов нужно складывать, а когда перемножать?
Складывай, если нужно выбрать один из взаимоисключающих способов: одновременно выполняется только один из них. Перемножай, если выбор состоит из нескольких последовательных этапов и каждый результат одного этапа можно продолжить вариантами следующего.
Что делать, если в задаче есть и сложение, и умножение?
Раздели задачу на этапы и отдельные взаимоисключающие случаи. Для последовательных выборов перемножь количества вариантов, а полученные количества для разных случаев сложи.
Как понять, являются ли варианты различными?
Сравни результаты по условию задачи: если они дают разные способы выполнить условие, это разные варианты. Если отличается только порядок перечисления одного и того же результата, повторно его не считай.
Зачем строить дерево вариантов, если можно сразу выполнить вычисление?
Дерево показывает, как каждый выбор продолжается на следующих этапах, и помогает заметить пропущенные случаи. Оно особенно полезно, если в задаче несколько шагов или ветви устроены неодинаково.
Как проверить, что ни один вариант не пропущен и не посчитан дважды?
Перечисли варианты по порядку или построй дерево так, чтобы каждая ветвь соответствовала одному результату. Затем проверь, что все результаты из условия есть в списке и одинаковые способы не повторяются.
28. Число вариантов
