27. Вероятность события

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие, результат которого заранее нельзя точно предсказать. Например, при броске монеты неизвестно, выпадет орёл или решка. Это понятие нужно, чтобы описывать ситуации, где возможны разные результаты.

Элементарный исход — один возможный результат случайного опыта. Для одного броска игральной кости элементарными исходами будут числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Перечисление исходов помогает не пропустить варианты при решении задачи.

Событие — совокупность исходов, при которых выполняется определённое условие. Событию выпадения чётного числа на кости соответствуют исходы 2, 4 и 6. Так условие задачи превращается в выделенную группу результатов.

Вероятность события — числовая мера возможности его наступления. При равновозможных исходах её находят по формуле P(A) = m/n, где m — число благоприятных исходов, а n — число всех исходов. Обозначение P(A) позволяет кратко записывать и сравнивать возможности событий.

Как это устроено

Случайный опыт описывают полным набором элементарных исходов, потому что результат обязательно должен оказаться среди перечисленных вариантов. Например, для одного броска кубика набор выглядит так: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Если забыть хотя бы один исход, общее число вариантов и последующая вероятность будут неверными.

Событие рассматривают как выделенную группу исходов, поскольку условие задачи выполняется не само по себе, а при конкретных результатах. Например, событие выпадения числа больше 4 включает только исходы 5 и 6. Остальные исходы не подходят и не должны входить в число благоприятных.

Формула P(A) = m/n работает при равновозможных исходах: тогда каждый исход имеет одинаковую долю общей возможности. Число m показывает, сколько исходов подходит условию события, а n — сколько исходов возможно всего. Если варианты имеют разную вероятность, простого подсчёта их количества недостаточно.

Невозможное событие не происходит ни при одном исходе, поэтому для него m = 0 и P(A) = 0. Достоверное событие происходит при каждом исходе, значит, m = n и P(A) = 1. Эти значения задают крайние точки шкалы вероятностей.

Чем ближе вероятность к 1, тем событие возможнее, а чем ближе к 0, тем оно менее возможно. Однако вероятность 0,5 не означает, что событие обязательно произойдёт в половине ближайших опытов: она описывает равенство возможностей в модели. Поскольку число благоприятных исходов не отрицательно и не превосходит общего числа, вероятность всегда лежит в промежутке от 0 до 1.

Виды событий и их вероятности

В таблице сначала определите, при каких исходах происходит событие, а затем сравните эту группу со всем набором исходов. Формула в последней строке помогает быстро находить вероятность события, противоположного данному.

Разбор задач

Бросок игральной кости

Условие. Игральную кость бросают один раз. Найдём вероятность выпадения чётного числа.

1. Все исходы равновозможны: 1, 2, 3, 4, 5, 6, поэтому n = 6.
2. Чётными являются 2, 4 и 6, значит, благоприятных исходов m = 3.
3. Подставим числа в формулу: P(A) = 3/6 = 1/2.

Ответ: вероятность выпадения чётного числа равна 1/2.

Два броска монеты

Условие. Монету подбрасывают два раза. Найдём вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

1. Запишем последовательности: ОО, ОР, РО, РР. Они равновозможны, поэтому всего n = 4 исхода.
2. Ровно один орёл получается в последовательностях ОР и РО. Следовательно, m = 2.
3. Вычислим вероятность: P(A) = 2/4 = 1/2.

Ответ: вероятность равна 1/2.

Две игральные кости

Условие. Две кости бросают одновременно. Найдём вероятность того, что сумма очков будет больше 9.

1. Результат задаётся парой чисел. Для первой кости 6 вариантов и для второй 6, поэтому n = 6 · 6 = 36.
2. Подходящие пары имеют суммы 10, 11 или 12: (4;6), (5;5), (6;4), (5;6), (6;5), (6;6). Их 6, значит, m = 6.
3. Получаем P(A) = 6/36 = 1/6.

Ответ: вероятность суммы, большей 9, равна 1/6.

Типичные ошибки

В число всех исходов включают не все возможные результаты. Так происходит, когда ученик перечисляет только удобные варианты или забывает порядок результатов. Проверьте себя: набор исходов должен описывать любой возможный результат опыта.

Исходы считают равновозможными без основания. Например, разные суммы при броске двух костей встречаются не одинаково часто, хотя пары результатов равновозможны. Уточните, одинаковы ли шансы отдельных исходов, прежде чем применять P(A) = m/n.

Число благоприятных исходов принимают за вероятность. Это только числитель дроби, поэтому его нужно разделить на общее число исходов. После подсчёта обязательно запишите формулу с m и n.

В результате получают вероятность больше 1 или меньше 0. Обычно это означает ошибку в подсчёте исходов либо неправильный выбор модели опыта. Быстрая проверка: любая вероятность должна находиться между 0 и 1.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны навыки подсчёта количества вариантов и работы с обыкновенными дробями. Вероятность связана с перебором исходов и элементами комбинаторики: чем сложнее опыт, тем важнее системно перечислять варианты. Позже эти идеи пригодятся при изучении статистики, случайных величин и анализе реальных данных, где по наблюдениям оценивают возможность событий.

Что запомнить

• Событие состоит из исходов случайного опыта.
• Благоприятными называются исходы, при которых событие происходит.
• При равновозможных исходах P(A) = m/n.
• Вероятность события находится в пределах от 0 до 1.
• Вероятность невозможного события равна 0.
• Вероятность достоверного события равна 1.
• Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.