"Алгебра и начала математического анализа", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Вероятность события — число, которое показывает, насколько возможно его наступление в случайном эксперименте. Чтобы вычислить её при равновозможных исходах, считают все возможные результаты и те из них, которые приводят к нужному событию: P(A) = m/n. Вероятность лежит от 0 до 1: ноль соответствует невозможному событию, единица — достоверному. Умение выделять исходы и проверять их равновозможность помогает решать задачи с монетами, игральными костями и другими случайными опытами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайный эксперимент — действие, результат которого заранее нельзя точно предсказать, хотя известны возможные исходы. Например, при броске кости невозможно заранее знать выпавшее число, но ясно, что оно будет от 1 до 6. Это понятие задаёт ситуацию, в которой имеет смысл обсуждать вероятность.
Элементарный исход — один конкретный результат случайного эксперимента. Для одного броска кости элементарными исходами служат числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Перечень таких результатов нужен, чтобы не пропустить возможный вариант при решении задачи.
Событие — совокупность исходов, при которых происходит интересующее нас явление; событие обозначают заглавной буквой, например A. Так, событие A «выпало чётное число» объединяет исходы 2, 4 и 6. Обозначение помогает кратко записывать условие и дальнейшие рассуждения.
Вероятность события — числовая мера возможности его наступления; при равновозможных исходах P(A) = m/n, где m — число благоприятных исходов, а n — число всех исходов. Благоприятными называют исходы, при которых событие происходит. Формула позволяет перейти от описания исходов к числу, с которым удобно сравнивать разные события.
Случайный эксперимент описывают через множество всех возможных элементарных исходов, потому что любой его результат должен попасть в этот перечень. Если часть вариантов забыть, число всех исходов окажется неверным, а вероятность будет рассчитана по неполному набору. Например, для броска стандартной кости перечисляют все шесть граней, а не только те, которые подходят условию задачи. Такой список служит общей основой и для подсчёта благоприятных исходов.
Событие составляют из тех элементарных исходов, которые удовлетворяют условию задачи. Один исход может входить в разные события: выпадение 4 на кости одновременно означает «выпало чётное число» и «выпало число больше трёх». Это происходит потому, что события описывают разные интересующие нас свойства одного результата. Поэтому событие не всегда совпадает с одним исходом: оно может объединять несколько результатов.
При равновозможных исходах каждый конкретный результат имеет одинаковый шанс наступить. Тогда доля благоприятных исходов среди всех возможных показывает, какая часть равноправных вариантов приводит к событию, и получается формула P(A) = m/n. Если исходы не равновозможны, простое отношение их количества не отражает реальный шанс: например, редкий результат нельзя считать наравне с частым только потому, что каждый записан в списке один раз. Значит, прежде чем делить, нужно проверить условие о равновозможности.
Невозможное событие не содержит ни одного исхода, который мог бы привести к его наступлению, поэтому его вероятность равна 0. Достоверное событие включает все возможные исходы, а значит, наступает при любом результате и имеет вероятность 1. Случайное событие включает лишь часть исходов: эксперимент может завершиться как благоприятным, так и неблагоприятным результатом. Эти случаи задают границы и ориентиры для оценки вероятностей.
Число благоприятных исходов m неотрицательно и не превосходит общего числа исходов n. Поэтому при n больше нуля отношение m/n не может быть меньше 0 или больше 1. Ноль получается, когда m = 0, а единица — когда m = n. Так формула объясняет, почему любая вероятность находится в пределах от 0 до 1 включительно.
| Вид события | Условие | Обозначение или формула | Значение вероятности |
|---|---|---|---|
| Невозможное событие | Событие не может произойти ни при одном исходе | P(A) = 0 | 0 |
| Достоверное событие | Событие происходит при любом исходе | P(A) = 1 | 1 |
| Случайное событие | Событие может произойти, но может и не произойти | P(A) = m/n | 0 < P(A) < 1 |
| Противоположное событие | Событие не произошло | P(не A) = 1 − P(A) | От 0 до 1 |
Сначала определите, к какому виду относится событие, и проверьте, не является ли оно невозможным или достоверным. Для противоположного события удобно использовать формулу 1 − P(A), если вероятность самого события уже известна. В остальных случаях с равновозможными исходами посчитайте все результаты и подходящие к условию.
Игральную кость бросают один раз. Найдите вероятность выпадения числа 4. Все грани стандартной кости считаются равновозможными, поэтому можно применить отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Ответ: 1/6. Проверка показывает, что вероятность положительна и меньше 1, как и должно быть для случайного события. Доля подходит, поскольку каждый результат броска имеет одинаковый шанс.
Монету бросают два раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз. Для подсчёта нужно записывать последовательности результатов: порядок бросков важен, поскольку первый и второй броски являются отдельными действиями.
Ответ: 1/2. Исходы ОР и РО нельзя объединить в один элементарный исход: они описывают разные последовательности бросков. Если считать только число орлов, потеряется различие между возможными результатами опыта.
В коробке 5 белых и 3 чёрных шара. Наугад вынимают два шара; найдите вероятность того, что оба будут белыми. Всего шаров 8, и здесь удобно считать пары без учёта порядка: пара из белых шаров остаётся той же, даже если мысленно поменять шары местами.
Ответ: 5/14. Сочетания применены потому, что порядок извлечения не считается отдельным результатом. Если бы учитывались последовательности «сначала этот шар, потом тот», пришлось бы одинаково учитывать порядок и в общем, и в благоприятном подсчёте.
Ошибка — считать в знаменателе только благоприятные исходы или не включить часть возможных результатов. Так бывает, когда решающий сразу сосредотачивается на условии события и забывает о полном наборе вариантов. Перед делением запишите или обоснуйте все элементарные исходы, а затем проверьте, что каждый возможный результат учтён ровно один раз.
Нельзя применять формулу m/n, не проверив равновозможность исходов. Часто исходы принимают за равновероятные лишь потому, что их перечислили одинаковым образом, но это не гарантирует равные шансы. Проверьте свойства эксперимента: например, для честной монеты стороны равноправны, а для несимметричного устройства это может быть не так. Если шансы различаются, нужен другой способ вычисления.
При нескольких действиях иногда событие принимают за элементарный исход. Например, фраза «орёл выпал хотя бы один раз» описывает событие, которому соответствуют несколько последовательностей, а не один результат двух бросков. Чтобы себя проверить, запишите последовательности отдельно и отметьте те, что подходят условию. Отдельный список помогает не потерять порядок результатов.
Полученная вероятность не может быть меньше 0 или больше 1. Такие значения возникают, если благоприятных исходов насчитали больше, чем всех возможных, перепутали числа в дроби или неверно выбрали модель опыта. Сравните m и n: должно выполняться 0 ≤ m ≤ n. Затем проверьте, что итоговая дробь действительно лежит между 0 и 1.
Для подсчёта вероятностей понадобятся дроби, отношения, проценты и перебор вариантов: числитель и знаменатель формулы описывают числа исходов, а результат можно представить дробью или процентом. В задачах с большим количеством вариантов помогают правила комбинаторики, например сочетания для выбора нескольких предметов без учёта порядка. Понимание исходов и событий станет основой для изучения противоположных и несовместных событий, а также формул сложения и умножения вероятностей. Позже вероятность будет использоваться при работе со статистикой, случайными величинами и математическим ожиданием.
Чем событие отличается от элементарного исхода?
Элементарный исход — один конкретный результат эксперимента, например выпадение числа 4. Событие объединяет один или несколько исходов, например выпадение чётного числа включает результаты 2, 4 и 6.
Почему в формуле вероятности нужно, чтобы исходы были равновозможными?
Формула P(A) = m/n считает все исходы одинаково вероятными и поэтому сравнивает их количество. Если шансы исходов различаются, одного подсчёта недостаточно: нужно учитывать вероятности каждого результата.
Как понять, какие исходы являются благоприятными?
Благоприятны те элементарные исходы, при которых происходит событие, указанное в задаче. Сначала сформулируйте это условие, затем проверьте каждый возможный исход.
Нужно ли учитывать порядок результатов при подсчёте исходов?
Это зависит от того, различаются ли результаты при смене порядка в данной задаче. Для двух бросков монеты последовательности «орёл, решка» и «решка, орёл» — разные исходы; при выборе пары шаров порядок обычно не учитывают.
Что означает вероятность, равная 0 или 1?
Вероятность 0 означает, что событие невозможно, а вероятность 1 — что оно произойдёт при любом исходе эксперимента. Промежуточные значения соответствуют событиям, которые могут произойти, но не являются гарантированными.
§ 1. Вероятность события
