"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Вероятность события показывает, насколько возможно его наступление в случайном опыте. Она выражается числом от 0 до 1: чем больше вероятность, тем чаще событие ожидается. Для конечного числа равновозможных исходов используют формулу P(A) = m/n, где m — число благоприятных исходов, а n — общее число исходов. Вероятность помогает сравнивать события и решать задачи о случайных результатах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайное событие — событие, которое при проведении опыта может произойти, а может и не произойти. Например, при броске кубика выпадение шестёрки возможно, но не обязательно. Это понятие нужно, чтобы описывать неопределённый результат опыта.
Вероятность события — числовая мера возможности его наступления. Событие обычно обозначают буквой A, а его вероятность записывают P(A), то есть «вероятность события A». Значение P(A) находится от 0 до 1: чем оно больше, тем вероятнее событие.
Достоверное событие — событие, которое обязательно происходит при каждом проведении опыта. Например, при броске кубика выпадает число от 1 до 6. Его вероятность равна 1, потому что событие происходит всегда.
Невозможное событие — событие, которое не происходит ни при одном исходе опыта. При обычном броске кубика выпадение семёрки невозможно. Поэтому вероятность такого события равна 0.
Вероятность по классической формуле вычисляют в опыте с конечным числом исходов, если все исходы равновозможны. Опыт — это действие, результат которого заранее неизвестен, например бросание монеты или выбор шара. Равновозможность означает, что ни один исход не имеет преимущества перед другим.
Событие состоит не из одного обязательного результата, а из тех исходов, при которых оно происходит. Такие исходы называют благоприятными для события. Поэтому сначала нужно описать все возможные результаты опыта, а затем выделить среди них подходящие.
Пусть всего есть n равновозможных исходов, а событию A благоприятствуют m из них. Каждый исход имеет одинаковую долю возможности, поэтому доля подходящих исходов среди всех равна m/n. Отсюда получается формула классической вероятности: P(A) = m/n.
Число m не бывает отрицательным и не может быть больше n: благоприятные исходы входят в множество всех исходов. Значит, отношение m/n находится между 0 и 1 включительно. Если m = 0, событие невозможно и P(A) = 0, а если m = n, событие достоверно и P(A) = 1.
У одного опыта разные события могут иметь разные вероятности, потому что для них получается разное число благоприятных исходов. Например, при броске кубика событие «выпало число 6» имеет один благоприятный исход, а событие «выпало чётное число» — три: 2, 4 и 6. При шести равновозможных исходах их вероятности равны соответственно 1/6 и 3/6 = 1/2.
| Вид события | Когда происходит | Вероятность |
|---|---|---|
| Невозможное | Не происходит ни при одном исходе | 0 |
| Случайное | Происходит при некоторых исходах, но не при всех | От 0 до 1 |
| Достоверное | Происходит при каждом исходе | 1 |
Таблица помогает определить вид события по тому, при скольких исходах оно происходит. Если подходящих исходов нет, событие невозможно; если подходят все исходы, оно достоверно. Для остальных случаев событие случайное, а его вероятность строго между 0 и 1.
При подбрасывании правильной монеты возможны два исхода: орёл и решка. Они равновозможны, потому что монета правильная. Обозначим событие выпадения орла буквой A.
Ответ: вероятность выпадения орла равна 1/2.
В коробке 5 красных и 3 синих шара, всего 8 шаров. При выборе одного шара каждый конкретный шар считаем отдельным равновозможным исходом. Благоприятны для события «вынут красный шар» пять исходов.
Ответ: вероятность вынуть красный шар равна 5/8.
Результат бросания двух кубиков удобно записывать парой (a; b), где a — результат первого кубика, b — второго. Всего таких пар 6 · 6 = 36, и они равновозможны. Для суммы 8 подходят пары (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2).
Ответ: вероятность получить сумму 8 равна 5/36.
Переставляют числитель и знаменатель. Иногда делят число всех исходов на число благоприятных и получают n/m. Ошибка возникает из-за невнимательного чтения формулы. Проверьте себя: вероятность должна быть долей благоприятных исходов от всех, то есть m/n.
Не проверяют равновозможность. Формулу m/n применяют к любым результатам, хотя она работает только при одинаковой вероятности каждого исхода. Перед вычислением спросите, действительно ли исходы имеют равные шансы. Если нет, одной простой дроби m/n недостаточно.
Считают при двух кубиках только суммы. Суммы от 2 до 12 не являются равновозможными исходами: например, сумму 7 получить легче, чем сумму 2. Нужно считать упорядоченные пары результатов двух кубиков, всего 36 пар.
Получают число вне отрезка [0; 1]. Вероятность не может быть отрицательной или превышать единицу. Если результат нарушает это условие, проверьте числитель, знаменатель и подсчёт исходов.
Для изучения вероятности нужны понятия опыта, исхода и множества возможных исходов. Также важно уметь подсчитывать элементы конечного множества, поскольку число исходов n и число благоприятных исходов m находят именно так.
Тема связана с комбинаторным подсчётом: чем сложнее опыт, тем важнее системно перечислять или считать исходы. В дальнейшем эти идеи используются при изучении сложения и умножения вероятностей, а также в прикладных задачах о случайных событиях.
Что называют благоприятным исходом?
Благоприятный исход — это такой исход опыта, при котором данное событие происходит. Например, при бросании кубика для события «выпало чётное число» благоприятны исходы 2, 4 и 6.
Почему вероятность не может быть больше 1?
Число благоприятных исходов не может превышать число всех исходов: m ≤ n. Поэтому отношение m/n не больше 1 и не меньше 0.
Можно ли применять формулу P(A) = m/n к неравновозможным исходам?
Нет, классическая формула применима только к равновозможным исходам. Если исходы имеют разные вероятности, используют другие способы вычисления, учитывающие эти вероятности.
Как считать исходы при бросании двух кубиков?
Исход записывают упорядоченной парой: результат первого кубика и результат второго. Всего получается 6 · 6 = 36 равновозможных пар, даже если некоторые пары дают одну и ту же сумму.
Чем случайное событие отличается от достоверного?
Случайное событие может произойти, а может не произойти. Достоверное событие происходит при каждом исходе опыта, поэтому его вероятность равна 1.
§ 12. Вероятность события
