§ 67. Вероятность события

Определения и обозначения

Случайное событие — это событие, которое в результате опыта может произойти, а может и не произойти. Например, при броске кубика событие «выпало чётное число» иногда наступает, иногда нет. События обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C. Такое обозначение помогает коротко записывать условия и формулы.

Равновозможные исходы — это результаты опыта, у которых одинаковые шансы наступить. У правильной монеты орёл и решка равновозможны, а у кубика без дефектов равновозможны числа от 1 до 6. Это условие необходимо для классической формулы: только при равных шансах доля подходящих исходов отражает вероятность события. Если шансы различаются, простого подсчёта исходов недостаточно.

Благоприятный исход — это исход, при котором рассматриваемое событие происходит. Чтобы его определить, сформулируй условие события и проверь, выполняется ли оно для каждого возможного результата. Например, для события «выпало число больше 4» при броске кубика благоприятны исходы 5 и 6. Подсчёт таких исходов позволяет перейти к вычислению вероятности.

Вероятность события — число, которое характеризует возможность его наступления. Для конечного набора равновозможных исходов вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Если всего исходов n, а благоприятных m, то P(A) = m/n. Значение вероятности показывает, какую долю всех вариантов составляют подходящие событию результаты.

Как это устроено

Сначала нужно описать опыт и перечислить все его возможные исходы. Перечень должен быть исчерпывающим: тогда никакой результат не останется за его пределами. Исходы также должны быть несовместными, то есть в одном опыте не должны одновременно засчитываться как два разных результата. Эти требования делают подсчёт однозначным: каждый результат учитывается один раз, и известны все варианты.

Затем среди перечисленных исходов выделяют те, при которых наступает событие, и считают их. Такой шаг связывает словесное условие задачи с конкретными результатами опыта. Например, если событие требует чётного числа на кубике, нужно проверить каждое число и оставить только подходящие. Явный подсчёт снижает риск включить лишний исход или забыть нужный.

Классическая формула P(A) = m/n получается потому, что при равновозможных исходах каждый из n вариантов имеет одинаковую долю шанса. Если событию подходят m вариантов, оно наступает в m таких долях из общего числа n. Поэтому вероятность — отношение количества подходящих результатов к количеству всех возможных. Формула применима именно при конечном наборе равновозможных исходов, а не просто при любом опыте, где можно что-то посчитать.

Невозможное событие не наступает ни при одном исходе, поэтому благоприятных исходов для него нет и вероятность равна 0. Достоверное событие происходит при любом исходе, значит, благоприятны все n вариантов и отношение n/n равно 1. Для любого события число благоприятных исходов не может быть меньше нуля или больше общего числа исходов. Поэтому вероятность всегда находится в пределах от 0 до 1 включительно.

Событие, противоположное A, обозначают Ā: оно происходит тогда и только тогда, когда A не происходит. Вместе A и Ā охватывают все возможные результаты и не пересекаются, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Отсюда получаем P(Ā) = 1 − P(A). Это особенно удобно, когда проще посчитать вероятность того, что событие не наступит, чем перечислять все благоприятные для него исходы.

События и их вероятности

Здесь n — число всех равновозможных исходов, а m — число исходов, благоприятных для A. Сначала определи строку, соответствующую задаче, затем подставь найденные значения. Для противоположного события можно использовать как число исходов n − m, так и формулу 1 − P(A).

Разбор задач

Задача 1. Правильную монету подбрасывают один раз. Найдём вероятность выпадения орла. Правильность монеты означает, что два возможных результата имеют одинаковые шансы. Поэтому здесь можно применить классическое определение.

1. Перечислим исходы: орёл и решка. Их всего n = 2, и они равновозможны.
2. Для события A «выпал орёл» благоприятен только исход «орёл», значит, m = 1.
3. Подставим числа в формулу: P(A) = m/n = 1/2.

Ответ: вероятность выпадения орла равна 1/2. Получается, один из двух одинаково вероятных результатов приводит к нужному событию.

Задача 2. Правильный кубик бросают один раз. Найдём вероятность выпадения числа, кратного трём. У правильного кубика каждый результат от 1 до 6 имеет одинаковый шанс. Сначала посчитаем весь набор, а затем отберём числа, которые делятся на 3 без остатка.

1. Все исходы — числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, поэтому n = 6.
2. Кратны трём числа 3 и 6. Благоприятных исходов m = 2.
3. По классической формуле P(A) = 2/6 = 1/3.

Ответ: вероятность равна 1/3. Сокращение дроби не меняет вероятность, а показывает долю благоприятных результатов от всех возможных.

Задача 3. Из карточек с числами от 1 до 20 наугад выбирают одну. Найдём вероятность того, что число делится на 2 или на 5. Слово «или» означает, что подходят числа, удовлетворяющие хотя бы одному из условий. Числа, делящиеся и на 2, и на 5, нужно включить в общий список только один раз.

1. Всего карточек 20, значит, n = 20. Числа, делящиеся на 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
2. К ним добавим делящиеся на 5 числа 5, 15. Числа 10 и 20 уже учтены, поэтому повторно их не записываем; всего подходящих чисел m = 12.
3. Вычислим вероятность: P(A) = 12/20 = 3/5.

Ответ: вероятность равна 3/5. Полный список помогает убедиться, что ни одно подходящее число не пропущено и ни одно не посчитано дважды.

Типичные ошибки

Формулу m/n иногда применяют, не проверив равновозможность исходов. Причина — формула кажется универсальной, хотя она описывает только классическую вероятность. Перед вычислением выясни, одинаковы ли шансы у всех вариантов; если нет, одного подсчёта их количества недостаточно. Например, правильность монеты или кубика должна следовать из условия задачи.

Ещё одна ошибка — назвать благоприятными исходы, при которых событие не происходит. Это случается, когда условие задачи прочитано невнимательно или его не сопоставили с каждым вариантом. Запиши событие словами и проверяй исходы по этому условию. Для события «число кратно трём» подходят только числа, которые делятся на 3 без остатка.

Можно забыть часть возможных исходов или посчитать один и тот же результат несколько раз. Особенно легко это сделать, когда условие объединяет несколько признаков, например «делится на 2 или на 5». Составь полный список результатов и убери повторы до вычисления вероятности. Затем проверь, что каждый возможный исход либо учтён как благоприятный, либо не подходит событию.

Вероятность меньше 0 или больше 1 указывает на ошибку. Обычно неверно посчитано m или n, перепутаны числитель и знаменатель либо допущена арифметическая неточность. Проверь, что 0 ≤ m ≤ n и что в знаменателе стоит число всех исходов. Полученная дробь должна лежать от 0 до 1 включительно.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужно уметь перечислять исходы опыта и находить долю числа от общего количества. Работа с множествами помогает объединять списки подходящих результатов и не учитывать один исход дважды. Эти навыки особенно полезны, когда условие содержит несколько признаков. Аккуратная запись вариантов служит основой для надёжного подсчёта.

Вероятность встречается в статистике, где анализируют результаты наблюдений и случайных опытов. В комбинаторике считают, сколько существует вариантов выбора или расположения объектов; такие подсчёты помогают находить числа исходов для вероятностных задач. Позже изучают способы вычисления вероятностей, которые применимы и тогда, когда исходы нельзя просто считать равновозможными. Классическая формула даёт базовую модель для этих дальнейших тем.

Что запомнить

• Классическая формула применима к конечному набору равновозможных исходов.
• P(A) = m/n, где n — число всех исходов, m — число благоприятных.
• Вероятность любого события не меньше 0 и не больше 1.
• Вероятность невозможного события равна 0.
• Вероятность достоверного события равна 1.
• P(Ā) = 1 − P(A).