Вероятность события

Определения и обозначения

Испытание — опыт, результат которого заранее неизвестен. Например, бросок кубика является испытанием, поскольку до броска нельзя знать, какое число выпадет. Чтобы описывать вероятность, заранее задают возможные исходы: иначе нельзя решить, какие результаты учитывать и к какому событию они относятся.

Исход испытания — один из возможных результатов опыта. При броске кубика исходами служат числа от 1 до 6. Их нужно описать достаточно точно, чтобы после опыта можно было установить, какой именно результат получен; неоднозначное описание мешает подсчёту.

Событие — результат или совокупность исходов испытания, о которых можно однозначно сказать, произошли они или нет. Например, при броске кубика событию «выпало чётное число» соответствуют исходы 2, 4 и 6. Понятие события позволяет объединять нужные результаты и оценивать шанс их появления.

Вероятность события — числовая мера возможности его наступления. Её обозначают P(A), где A — выбранное событие. Число P(A) позволяет сравнивать события и решать задачи о случайных опытах, а не только описывать их словами.

Как это устроено

Сначала задают испытание и перечисляют все его возможные исходы. Это нужно потому, что вероятность зависит от того, какие результаты считаются возможными и что именно называют событием. Если список неполный или описан расплывчато, нельзя надёжно найти ни общее число исходов, ни число подходящих событию результатов.

В классической модели все исходы равновозможны: каждый из них имеет одинаковый шанс наступить. Например, у правильного кубика нет выделенной грани, поэтому выпадение каждой из шести граней одинаково вероятно. Если же исходы имеют разные шансы, считать их просто по количеству нельзя: несколько менее вероятных исходов не обязательно дают такую же вероятность, как такое же число более вероятных.

Пусть всего имеется n равновозможных исходов, а событию A благоприятствуют m из них. Тогда P(A) = m/n. Числитель m показывает, сколько результатов приводит к событию, а знаменатель n учитывает весь набор результатов, из которого происходит выбор; без общего числа исходов долю вычислить нельзя.

Вероятность не может быть меньше 0 или больше 1, поскольку благоприятные исходы составляют часть всех возможных. Невозможному событию не соответствует ни один исход, поэтому его вероятность равна 0; достоверному событию соответствуют все исходы, и его вероятность равна 1. Значения между 0 и 1 показывают степень возможности: чем больше вероятность, тем больше доля подходящих исходов в классической модели.

При подсчёте нужно охватить все возможные исходы и каждый учесть ровно один раз. Если пропустить исход, знаменатель окажется неверным; если исход повторить, числитель может стать завышенным. Проверка списка и границ 0 ≤ P(A) ≤ 1 помогает обнаружить такие ошибки до записи ответа.

События и их вероятности в классической модели

Сначала определите, все ли исходы равновозможны и сколько их всего, то есть найдите n. Затем установите число благоприятных исходов m и выберите соответствующую строку таблицы. Для невозможного и достоверного событий числитель сразу равен соответственно 0 и n.

Разбор задач

Бросок правильного кубика

При одном броске правильного игрального кубика нужно найти вероятность выпадения числа 5. Правильный кубик не выделяет ни одну грань, поэтому все шесть исходов равновозможны. Событие наступает только при одном конкретном результате.

1. Перечислим исходы броска: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Всего их n = 6.
2. Событию «выпало число 5» благоприятствует только исход 5, поэтому m = 1.
3. Применим классическую формулу: P(A) = m/n = 1/6.

Ответ: 1/6. Мы разделили число подходящих результатов на число всех равновозможных результатов. Если бы кубик был неправильным, равновероятность пришлось бы обосновать отдельно.

Выбор числа от 1 до 10

Из набора карточек с числами от 1 до 10 наугад выбирают одну. Найдём вероятность того, что выбранное число делится на 3. Предполагается, что каждую карточку выбирают с одинаковым шансом.

1. Всего имеется десять карточек, значит, n = 10.
2. Перечислим числа от 1 до 10, которые делятся на 3: 3, 6, 9. Других подходящих чисел в наборе нет, поэтому m = 3.
3. Подставим числа в формулу: P(A) = 3/10.

Ответ: 3/10. Перечисление благоприятных исходов помогает не забыть число 9 и не включить числа, не делящиеся на 3. Доля записана от общего количества карточек, а не от числа подходящих.

Выбор шара из коробки

В коробке лежат 4 красных и 3 синих шара, из неё наугад выбирают один шар. Нужно найти вероятность выбрать красный шар и объяснить, можно ли считать красный и синий цвета равновозможными исходами. Предполагается, что каждый отдельный шар выбирают с одинаковым шансом.

1. Рассмотрим исходами выбор отдельных шаров. Всего их n = 4 + 3 = 7, и они равновозможны при случайном выборе из коробки.
2. Красному событию благоприятствуют четыре исхода — выбор каждого из четырёх красных шаров. Значит, m = 4.
3. Вычислим вероятность: P(A) = 4/7.

Ответ: 4/7. Нельзя взять за равновозможные исходы только два цвета: вероятность красного цвета равна 4/7, а синего — 3/7. Цвета имеют разные шансы, потому что шаров каждого цвета разное количество.

Типичные ошибки

Перечисление названий исходов само по себе не доказывает, что их шансы равны. Так ошибаются, принимая слова «красный» и «синий» за равновозможные исходы, хотя шаров этих цветов может быть неодинаковое число. Проверьте устройство опыта и сравните шансы отдельных результатов до применения формулы.

В знаменатель иногда ставят число благоприятных исходов вместо общего числа исходов. Это происходит, когда внимание сосредоточено только на результатах, подходящих событию. Перед делением отдельно запишите n — все исходы, а m — только подходящие, и убедитесь, что m не превышает n.

При подсчёте числителя можно пропустить благоприятный результат или посчитать один дважды. Такое случается, если перечень составляют наспех или не проверяют границы набора. Выпишите все подходящие исходы по порядку, затем пересчитайте список и сверьте его с условием.

Вероятность меньше 0 или больше 1 — признак ошибки, а не допустимый ответ. Обычно неверно подсчитаны исходы либо перепутаны числитель и знаменатель. Сравните результат с границами 0 и 1: для любого события должно выполняться 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Связь с другими темами

Для решения задач на вероятность полезны навыки перечисления исходов простого опыта и подсчёта элементов конечного набора. Также нужно понимать отношение двух чисел: формула P(A) = m/n выражает долю подходящих исходов среди всех возможных. Эти умения помогают сначала правильно описать испытание, а затем выполнить расчёт.

Вероятность события служит основой для дальнейшего изучения операций над событиями и свойств вероятности. Например, при решении более сложных задач события объединяют или рассматривают их совместное наступление. Классическая формула также применяется в задачах на случайный выбор, если исходы в модели равновероятны.

Что запомнить

• Вероятность события обозначают P(A).
• В классической модели исходы должны быть равновозможными.
• P(A) = m/n, где n — число всех исходов, m — число благоприятных исходов.
• Для любого события 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• Вероятность невозможного события равна 0.
• Вероятность достоверного события равна 1.