Сложение вероятностей

Определения и обозначения

Суммой событий A и B называют событие, которое происходит, если наступило хотя бы одно из событий A, B; обозначение — A + B. В сумму входят исходы, принадлежащие A, B или обоим событиям сразу. Это обозначение помогает точно записывать условие «A или B» и находить вероятность объединённого события.

События называют несовместными, если они не могут произойти одновременно. Их пересечение является невозможным событием: нет исхода, который принадлежал бы сразу обоим событиям. Понятие нужно, чтобы понять, можно ли просто сложить вероятности без дополнительной поправки.

Пересечение событий A и B — событие, в котором оба события происходят одновременно; его обозначают A ∩ B. Оно состоит только из общих исходов A и B. Пересечение нужно учитывать при сложении, если одни и те же исходы подходят сразу под оба условия.

Теоремой сложения вероятностей называют правило P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), а для несовместных событий — P(A + B) = P(A) + P(B). Общая формула подходит и тогда, когда у событий есть общая часть. Её частный случай для несовместных событий удобен тем, что вероятность пересечения равна нулю.

Как это устроено

Событие A + B объединяет исходы, принадлежащие хотя бы одному из событий. Если считать сначала все исходы A, а затем все исходы B, общие исходы попадут в подсчёт два раза. Поэтому для правильного результата нужно выяснить, пересекаются ли события, прежде чем складывать их вероятности.

У несовместных событий общих исходов нет: исход, при котором происходит A, не может одновременно обеспечить B. Значит, при сложении вероятностей ни один исход не будет посчитан дважды. Именно поэтому для таких событий достаточно сложить P(A) и P(B), не вычитая пересечение.

Если события совместны, некоторые исходы входят и в A, и в B. При сложении P(A) и P(B) их вероятность учитывается дважды, хотя в сумме событий каждый исход должен учитываться один раз. Вычитание P(A ∩ B) убирает ровно одно лишнее повторение, поэтому остаётся правильная вероятность A + B.

Для равновозможных исходов смысл правила виден при подсчёте. Число исходов A + B равно числу исходов A плюс число исходов B, но общие исходы в этой сумме посчитаны дважды. Если вычесть число общих исходов, каждый исход объединения будет учтён один раз; при делении на общее число исходов получаем формулу вероятностей.

В задаче сначала выдели исходы, удовлетворяющие каждому условию отдельно, а затем найди их общую часть. Например, для событий «выпал туз» и «выпала червовая карта» общая часть — туз червей. Если общих исходов нет, используй формулу для несовместных событий; если они есть, вычитай вероятность пересечения.

Сложение вероятностей в зависимости от событий

Сначала найди в таблице случай, который соответствует условию задачи: проверь, могут ли события произойти вместе. Затем подставь вероятности в подходящую формулу и отдельно определи общую часть, если события совместны. Для суммы событий помни, что речь идёт о «хотя бы одном», а не обязательно ровно об одном.

Разбор задач

Бросок игральной кости

При одном броске игральной кости нужно найти вероятность выпадения числа 1 или числа 6. Событие A — выпадение 1, событие B — выпадение 6. Один бросок не может дать оба числа сразу, поэтому события несовместны.

1. У кости 6 равновозможных исходов, а событию A благоприятствует один исход: P(A) = 1/6.
2. Событию B также благоприятствует один исход: P(B) = 1/6. Так как события несовместны, пересечения нет.
3. Применяем формулу P(A + B) = P(A) + P(B): 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Ответ: 1/3. Здесь не требуется вычитать пересечение: вероятность невозможного события равна нулю.

Выбор карты

Из колоды в 36 карт случайно выбирают одну карту. Требуется найти вероятность того, что она окажется тузом или картой червовой масти. Эти события совместны: туз червей одновременно является и тузом, и червовой картой.

1. Обозначим A — «выбран туз», B — «выбрана червовая карта». В колоде 4 туза и 9 червей, поэтому P(A) = 4/36, P(B) = 9/36.
2. Общая часть событий — один туз червей, значит P(A ∩ B) = 1/36.
3. Подставим значения в общую формулу: P(A + B) = 4/36 + 9/36 − 1/36 = 12/36 = 1/3.

Ответ: 1/3. Туз червей вычитается, потому что при сложении вероятностей он был учтён и среди тузов, и среди червей.

Кружки в классе

Вероятность того, что выбранный ученик занимается в музыкальном кружке, равна 0,3, в спортивном — 0,4, а в обоих кружках — 0,1. Нужно найти вероятность, что ученик посещает хотя бы один из кружков. События совместны, поскольку некоторые ученики ходят сразу в оба кружка.

1. Обозначим A — занятия в музыкальном кружке, B — занятия в спортивном. Дано: P(A) = 0,3, P(B) = 0,4, P(A ∩ B) = 0,1.
2. Используем формулу для совместных событий: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
3. Вычислим: 0,3 + 0,4 − 0,1 = 0,6.

Ответ: 0,6. Значит, вероятность посещения хотя бы одного кружка равна 0,6.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сложить вероятности совместных событий без вычитания пересечения. Так делают, если воспринимают «или» как два независимых подсчёта, забывая о повторе общих исходов. Проверь, не подходят ли одни и те же исходы сразу под оба условия; если подходят, используй общую формулу.

Вторая ошибка — считать события несовместными только потому, что они названы по-разному. Разные названия не мешают событиям произойти одновременно: например, карта может быть и тузом, и червовой. Для проверки составь пример исхода, удовлетворяющего сразу двум условиям; если он существует, события совместны.

Третья ошибка — вычитать вероятность одного из событий вместо вероятности пересечения. Поправка нужна не для всего A или B, а только для тех исходов, которые вошли в оба события. Перед вычислением явно запиши, что означает A ∩ B, и проверь, соответствует ли выбранная вероятность именно общей части.

Четвёртая ошибка — применять формулу для несовместных событий, не проверив условие. Тогда общие исходы могут быть посчитаны дважды, и итог получится завышенным. Сначала установи, возможно ли одновременное наступление событий; короткая проверка на конкретном исходе помогает выбрать нужную формулу.

Связь с другими темами

Для работы с темой нужны понятие случайного события и классическое определение вероятности. Нужно уметь находить число благоприятных исходов и сравнивать его с числом всех равновозможных исходов. Эти знания дают значения вероятностей, которые затем складывают.

Тема опирается на операции над событиями — объединение и пересечение. Сумма событий соответствует объединению, то есть условию «хотя бы одно», а пересечение выделяет случаи, когда происходят оба события. Понимание этих операций объясняет, откуда берётся поправка в формуле.

Сложение вероятностей пригодится в задачах с условиями «A или B» и «хотя бы одно». Если условий несколько, важно так же внимательно выделять общие исходы, чтобы не посчитать их повторно. Это помогает переводить словесное условие задачи на язык событий и выбирать вычисление.

Что запомнить

• Событие A + B происходит, если произошло хотя бы одно из событий A, B.
• Для любых событий P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Для несовместных событий P(A ∩ B) = 0.
• Вероятности несовместных событий складываются.
• При совместных событиях вероятность пересечения вычитают один раз.
• Перед выбором формулы проверь, могут ли события произойти одновременно.