§ 68. Сложение вероятностей

Определения и обозначения

Сумма событий A и B — это событие, которое происходит, если произошло хотя бы одно из A или B; её обозначают A + B. Иными словами, подходят исходы, благоприятные A, B или сразу обоим событиям. Это обозначение нужно, когда в задаче спрашивают о наступлении одного события или другого.

Произведение событий A и B — событие, которое происходит, если одновременно произошли A и B; его обозначают AB. В него входят только исходы, подходящие обоим событиям. Это обозначение помогает отдельно учитывать общую часть событий.

Несовместные события не могут произойти одновременно, поэтому их произведение является невозможным событием. Например, при одном броске кубика числа 1 и 4 не могут выпасть вместе. Проверка несовместности показывает, можно ли просто сложить вероятности.

Совместные события могут произойти одновременно, то есть их произведение не является невозможным событием. Например, выбранная карта может быть и королём, и червовой. Понятие совместности нужно, чтобы не посчитать общие исходы дважды.

Как это устроено

Сумму событий удобно представлять как объединение исходов, подходящих хотя бы одному из них. Если перечислить исходы для A и для B, то в сумме окажутся все исходы из обоих списков. Поэтому вероятность суммы связана с вероятностями составляющих событий, но точная формула зависит от того, есть ли у списков общая часть.

У несовместных событий общих исходов нет: каждый исход, благоприятный A, отличается от любого исхода, благоприятного B. Значит, при объединении списков ни один исход не повторяется, и доли исходов можно сложить. Получается формула P(A + B) = P(A) + P(B). Она верна именно потому, что события не могут произойти одновременно.

У совместных событий общие исходы входят и в список для A, и в список для B. Если просто сложить вероятности, каждый такой исход будет учтён дважды, хотя в сумме событий он должен учитываться один раз. Поэтому общую часть вычитают: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB). Вероятность произведения P(AB) показывает, какую именно долю общих исходов нужно убрать.

Формулу для двух событий можно применять последовательно и к нескольким событиям: сначала объединить два события, затем присоединить следующее. На каждом шаге важно проверить, какие исходы пересекаются и не были ли они уже учтены. Для трёх и более событий нужно внимательно учитывать также исходы, общие сразу нескольким событиям, иначе расчёт даст лишние повторения.

Для противоположных событий A и Ā сумма равна достоверному событию: обязательно произойдёт либо A, либо не-A. Их произведение невозможно, поскольку один и тот же исход не может одновременно удовлетворять событию и его отрицанию. Вероятность достоверного события равна 1, поэтому P(A) + P(Ā) = 1 и P(Ā) = 1 − P(A). Этим удобно пользоваться, если вероятность противоположного события найти проще.

Сложение вероятностей двух событий

Сначала определите, есть ли у событий общий исход: это сразу подскажет, какой столбец таблицы использовать. Затем выберите формулу и, если события совместны, отдельно найдите вероятность произведения. В задачах с равновозможными исходами можно сначала посчитать количество подходящих исходов, а потом перевести их число в вероятность.

Разбор задач

Кубик: выпадение 1 или 4

При броске игрального кубика событие A — выпадение числа 1, событие B — выпадение числа 4. Нужно найти P(A + B). За один бросок выпадает только одно число, поэтому оба события одновременно произойти не могут.

1. У кубика шесть равновозможных исходов. Для A подходит один исход, значит, P(A) = 1/6; для B также P(B) = 1/6.
2. События несовместны, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей: P(A + B) = 1/6 + 1/6 = 2/6.
3. Сократим дробь: 2/6 = 1/3. Это вероятность того, что выпадет одно из двух заданных чисел.

Ответ: 1/3.

Карта: король или червовая

Из колоды в 36 карт случайно выбирают одну карту. A — событие выбрать короля, B — событие выбрать червовую карту. Эти события совместны: король червей входит в обе группы, поэтому его нужно учесть один раз.

1. Всего 36 карт, среди них 4 короля и 9 червовых карт. Поэтому P(A) = 4/36, а P(B) = 9/36.
2. Произведение AB — это выбор короля червей. Такая карта одна, значит, P(AB) = 1/36.
3. Применим формулу для совместных событий: P(A + B) = 4/36 + 9/36 − 1/36 = 12/36 = 1/3.

Ответ: 1/3.

Шары: красный или помеченный

В урне 5 красных и 4 синих шара, всего 9. Среди красных помечены 2 шара, среди синих — 1. Событие A — выбрать красный шар, B — выбрать помеченный. Они совместны, потому что красный помеченный шар подходит сразу обоим событиям.

1. Красных шаров 5 из 9, поэтому P(A) = 5/9. Помеченных шаров всего 3 из 9, поэтому P(B) = 3/9.
2. Произведение AB означает выбрать помеченный красный шар. Таких шаров 2, значит, P(AB) = 2/9.
3. Подставим значения: P(A + B) = 5/9 + 3/9 − 2/9 = 6/9 = 2/3. Вычитание убирает повторный учёт двух красных помеченных шаров.

Ответ: 2/3.

Типичные ошибки

Просто складывают вероятности совместных событий. Тогда исходы, подходящие обоим событиям, учитываются два раза. Ошибка возникает, если не проверить пересечение; для самопроверки перечислите общие исходы и убедитесь, что они учтены один раз.

Считают события несовместными только потому, что они сформулированы по-разному. Разные названия не означают, что события не могут произойти вместе. Проверьте конкретный исход: если он подходит обоим условиям, события совместны.

При совместных событиях прибавляют вероятность произведения. Общая часть уже вошла в P(A) и P(B), поэтому её нужно вычесть, а не добавить. Проверьте смысл формулы: сумма не должна содержать один и тот же исход дважды.

Путают сумму с произведением событий. Сумма означает хотя бы одно событие, а произведение — оба сразу. Если в условии сказано или, обычно ищут сумму; если одновременно, рассматривают произведение. Перед вычислениями полезно записать словами, какие исходы входят в нужное событие.

Связь с другими темами

Для работы со сложением вероятностей нужны понятия случайного события и вероятности события. В задачах с равновозможными исходами вероятность находят как отношение числа подходящих исходов к общему числу исходов. Также важно уметь выполнять операции над событиями: находить сумму, произведение и противоположное событие. Эти знания связывают описание условий задачи с формулами вычислений.

Правило сложения пригодится в задачах о сложных событиях, когда результат описывают несколькими условиями. Оно помогает разбирать ситуации на выбор предметов, броски и другие случайные испытания. Для нескольких условий нужно последовательно находить пересечения и следить, чтобы общие исходы не учитывались лишний раз.

Что запомнить

• Сумма событий A + B означает, что произошло хотя бы одно из них.
• Произведение AB означает, что произошли оба события.
• Для несовместных событий P(A + B) = P(A) + P(B).
• Для совместных событий P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB).
• Вычитают вероятность произведения, потому что общие исходы при сложении учитываются дважды.
• Вероятность противоположного события равна 1 − P(A).