§ 2. Сложение вероятностей

Определения и обозначения

Сумма событий A и B — событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A или B; её обозначают A + B или A ∪ B. Значит, сумма включает исходы, подходящие для A, для B и, если он есть, для обоих сразу. Это обозначение нужно, чтобы коротко записывать вопрос о наступлении хотя бы одного события.

Несовместные события — события, которые не могут наступить одновременно; их пересечение является невозможным событием. Например, при одном броске кубика не могут одновременно выпасть 1 и 2. Это понятие помогает понять, можно ли просто складывать вероятности.

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий утверждает: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей. Запись формулы: P(A + B) = P(A) + P(B). Она пригодится, когда нужно найти вероятность одного из вариантов, которые исключают друг друга.

Противоположные события A и Ā — события, одно из которых обязательно наступает, если не наступает другое. Их сумма достоверна, то есть происходит всегда, а пересечение невозможно. Такое обозначение позволяет находить вероятность события через вероятность того, что оно не произойдёт.

Как это устроено

Сумма событий соответствует объединению исходов, входящих хотя бы в одно из событий. Чтобы найти вероятность такого объединения, нужно выяснить, совпадают ли какие-либо исходы в двух событиях. Если общего исхода нет, каждый подходящий исход учитывается один раз при сложении вероятностей. Если общий исход существует, его приходится корректировать.

Для несовместных событий исходы одного события не повторяются среди исходов другого. Поэтому при сложении P(A) и P(B) мы просто объединяем два непересекающихся набора исходов, не считая ничего лишнего. Отсюда следует формула P(A + B) = P(A) + P(B). Например, при броске кубика выпадение 1 и выпадение 2 не могут произойти одновременно.

Для совместных событий в сумму P(A) + P(B) общий исход попадает дважды: один раз как исход A и ещё раз как исход B. Но в событии A + B этот исход должен учитываться только один раз. Поэтому вероятность пересечения P(AB), то есть вероятность одновременного наступления обоих событий, вычитают: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB).

Для нескольких попарно несовместных событий формулу можно применять последовательно. Сначала объединяют первые два события и складывают их вероятности, затем добавляют следующее: оно тоже не пересекается с уже рассмотренными событиями. Так получают вероятность суммы всех событий, равную сумме их вероятностей. Условие «попарно несовместны» означает, что никакие два события из списка не могут произойти вместе.

Противоположные события вместе составляют все возможные исходы испытания и не имеют общих исходов. Поэтому их сумма — достоверное событие с вероятностью 1, а P(A) + P(Ā) = 1. Перенос одного слагаемого даёт P(A) = 1 − P(Ā); эта формула удобна, когда вероятность события «не A» найти проще.

Формулы сложения вероятностей

Сначала найди в таблице ситуацию, которая соответствует условию задачи, и проверь, могут ли события произойти одновременно. Для совместных событий отдельно определи пересечение. После вычисления убедись, что вероятность получилась от 0 до 1.

Разбор задач

1. При броске игрального кубика найти вероятность выпадения 1 или 2.

Событие «выпала 1» и событие «выпала 2» несовместны: за один бросок кубик показывает только одно число. У кубика шесть равновозможных исходов, поэтому вероятность каждого из двух событий равна 1/6. Применим формулу сложения для несовместных событий.

1. Обозначим A — выпала 1, B — выпала 2.
2. Найдём вероятности: P(A) = 1/6, P(B) = 1/6.
3. Сложим их: P(A + B) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

Ответ: 1/3.

2. Из колоды выбирают одну карту. Найти вероятность того, что карта окажется королём или червовой.

События совместны: одна карта может одновременно быть королём и червовой. При стандартной колоде из 52 карт есть 4 короля и 13 червей, а их пересечение — один червовый король. Поэтому нельзя просто сложить 4/52 и 13/52: общий король тогда будет учтён два раза.

1. Обозначим A — выбрали короля, B — выбрали червовую карту.
2. Запишем вероятности: P(A) = 4/52, P(B) = 13/52, P(AB) = 1/52.
3. Применим формулу для совместных событий: P(A + B) = 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13.

Ответ: 4/13.

3. Вероятность того, что изделие неисправно, равна 0,08. Найти вероятность того, что изделие исправно; затем найти вероятность того, что оно исправно или имеет маркировку контроля, если эти события несовместны и вероятность маркировки равна 0,15.

Событие «изделие исправно» противоположно событию «изделие неисправно». Сначала найдём вероятность исправности через противоположное событие, а затем сложим её с вероятностью маркировки. По условию исправность и наличие маркировки несовместны, значит, вычитать пересечение не требуется.

1. Обозначим A — изделие исправно, тогда P(A) = 1 − 0,08 = 0,92.
2. Обозначим B — изделие имеет маркировку контроля, P(B) = 0,15.
3. Так как A и B несовместны, P(A + B) = 0,92 + 0,15 = 1,07.

Ответ: вероятность исправности равна 0,92. Указанные условия для второго вопроса противоречивы: вероятность события не может быть больше 1, поэтому исправность и маркировка не могут быть несовместны при данных вероятностях.

Типичные ошибки

Сложить вероятности совместных событий без вычитания пересечения. Тогда общие исходы будут посчитаны дважды, хотя в событии «хотя бы одно» каждый исход должен учитываться один раз. Так ошибаются, когда не замечают, что два признака могут относиться к одному исходу. Проверь, есть ли исход, подходящий сразу для обоих событий, и при наличии такого исхода вычти P(AB).

Считать события несовместными только из-за разной формулировки. Разные названия не означают, что события не могут произойти вместе: например, карта может одновременно быть королём и червовой. Ошибку допускают, если проверяют слова, а не исходы испытания. Спроси себя, возможен ли хотя бы один общий исход; если да, события совместны.

Путать сумму событий с одновременным наступлением. Сумма означает «A или B, возможно оба», а пересечение AB означает «A и B одновременно». Путаница меняет сам вопрос и приводит к выбору неверной формулы. Сверь смысл условия: если достаточно хотя бы одного события, нужна сумма; если требуются оба, нужна вероятность пересечения.

Получить сумму вероятностей попарно несовместных событий больше 1. Для несовместных событий сумма вероятностей не может превышать 1, потому что она описывает часть всех возможных исходов. Такое значение обычно означает ошибку в вычислениях или в предположении о несовместности. Проверь исходные вероятности, условие задачи и то, не пересекаются ли события на самом деле.

Связь с другими темами

Для работы со сложением вероятностей нужны понятия случайного, достоверного и невозможного событий, а также классическое определение вероятности. События удобно представлять как множества исходов: их сумма соответствует объединению, пересечение — общим исходам, а противоположное событие — дополнению. Поэтому формулы сложения связывают теорию вероятностей с операциями над множествами. Они помогают решать задачи с несколькими исходами и подготавливают к изучению условной вероятности и независимых событий.

Что запомнить

• Сумма событий означает наступление хотя бы одного из них.
• Для несовместных событий P(A + B) = P(A) + P(B).
• Для совместных событий P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB).
• Вероятность события и его противоположного события в сумме равна 1.
• Вероятность любого события находится от 0 до 1.
• Перед выбором формулы проверь, могут ли события наступить одновременно.