§ 3. Условная вероятность. Независимость событий ....

Определения и обозначения

Случайное событие — результат испытания, который может произойти, а может и не произойти. События обозначают заглавными буквами A, B, а вероятность события A записывают P(A). Эти обозначения позволяют кратко описывать условия и вычисления, не пересказывая каждый раз весь опыт.

Условная вероятность события A при условии B — вероятность того, что A произойдёт, если известно, что B уже произошло. Её обозначают P(A|B) и определяют формулой P(A|B) = P(A∩B)/P(B), если P(B) > 0. Это понятие нужно, когда новая информация сужает круг возможных исходов.

События A и B независимы, если наступление одного не меняет вероятность другого. Для проверки используют равенство P(A∩B) = P(A)P(B). Критерий нужен, чтобы вместо сложного совместного подсчёта можно было перемножить вероятности событий.

События называют зависимыми, если наступление одного меняет вероятность другого. Для событий с положительными вероятностями это означает, что хотя бы для одного порядка условная вероятность отличается от обычной: P(A|B) ≠ P(A) или P(B|A) ≠ P(B). Такое сравнение показывает, действительно ли новая информация влияет на шанс события.

Как это устроено

Когда известно, что событие B произошло, исходы вне B уже не могут быть результатом опыта. Поэтому при условной вероятности рассматривают только исходы, входящие в B, а благоприятными для A считают те из них, которые одновременно принадлежат A, то есть входят в A∩B. Если все исходы равновозможны, получается отношение числа исходов A∩B к числу исходов B. Например, условие о цвете карты исключает из подсчёта карты другого цвета.

Для неравновозможных исходов простой подсчёт их количества не подходит: каждому исходу может соответствовать своя вероятность. Тогда долю исходов заменяет отношение P(A∩B)/P(B). Деление на P(B) нужно потому, что после наступления B рассматривается не всё пространство исходов, а только его часть B. Условие P(B) > 0 гарантирует, что знаменатель не равен нулю и событие B вообще может произойти.

Из формулы условной вероятности можно выразить вероятность пересечения: умножим обе части равенства P(A|B) = P(A∩B)/P(B) на P(B) и получим P(A∩B) = P(B)P(A|B). Это формула умножения вероятностей. Она полезна, когда нужно найти шанс совместного наступления событий: сначала происходит B, а затем при этом условии — A. Для нескольких последовательных событий рассуждение продолжают, учитывая в каждом множителе все предыдущие результаты.

Если A и B независимы, знание о наступлении B не меняет вероятность A, поэтому P(A|B) = P(A), когда P(B) > 0. Подстановка этого равенства в формулу умножения даёт P(A∩B) = P(B)P(A). Обратно, если произведение вероятностей равно вероятности пересечения, то при P(B) > 0 деление на P(B) показывает, что P(A|B) = P(A). Так получается критерий независимости, который можно проверить вычислениями.

Независимость относится к паре конкретных событий и проверяется для их вероятностей, а не по тому, как они сформулированы. Невозможное событие нельзя использовать как условие в формуле P(A|B), потому что тогда P(B) = 0; достоверное событие, напротив, имеет вероятность 1. Для таких случаев опираются на критерий через пересечение и произведение вероятностей, а не пытаются делать вывод по интуитивному смыслу условной вероятности.

Условная вероятность и независимость событий

Таблица связывает определение условной вероятности с формулами, которые применяются при вычислении совместных событий и проверке независимости. Начинайте с того, что известно в задаче: условие, вероятности отдельных событий или вероятность их пересечения. Затем выберите строку с подходящей формулой и проверьте, выполнено ли требование к знаменателю.

Разбор задач

Задача 1. Из колоды в 36 карт наугад вытягивают одну карту. Найти вероятность того, что карта — туз, если известно, что она красная.

1. Условие сообщает, что карта красная, поэтому рассматриваем только красные карты. В стандартной колоде 36 карт половина красная, значит, подходящих условию карт 18.
2. Среди этих 18 карт есть два красных туза. Условная вероятность равна доле подходящих карт среди всех карт, удовлетворяющих условию: P(туз|красная) = 2/18 = 1/9.

Ответ: 1/9. Мы не делили число тузов на 36, потому что цвет карты уже известен и пространство исходов стало меньше.

Задача 2. В коробке 5 белых и 3 чёрных шара. Последовательно вытягивают два шара без возвращения. Найти вероятность того, что оба шара белые.

1. Для первого белого шара вероятность равна 5/8: всего в коробке 8 шаров, из них 5 белых. После извлечения белого шара остаются 4 белых из 7 шаров.
2. Вероятность второго белого при условии, что первый был белым, равна 4/7. По формуле умножения вероятность обоих событий равна (5/8)·(4/7) = 20/56 = 5/14.

Ответ: 5/14. Второй множитель не равен 5/8, потому что шар не возвращают и состав коробки после первого извлечения меняется.

Задача 3. Игральную кость бросают дважды. Событие A — при первом броске выпало чётное число, событие B — сумма результатов больше 7. Определить, независимы ли A и B.

1. Всего равновозможны 36 упорядоченных пар результатов. Чётное число на первом броске выпадает в 18 случаях, поэтому P(A) = 18/36 = 1/2. Сумма больше 7 в 15 случаях: для сумм 8, 9, 10, 11 и 12 подходят соответственно 5, 4, 3, 2 и 1 пары, поэтому P(B) = 15/36 = 5/12.
2. Посчитаем пары, где первое число чётное и сумма больше 7. При первом результате 2 подходит 1 второй результат, при 4 — 3, при 6 — 5; всего 9 пар. Значит, P(A∩B) = 9/36 = 1/4, а P(A)P(B) = (1/2)(5/12) = 5/24.
3. Числа 1/4 и 5/24 не равны, следовательно, критерий независимости не выполняется. События зависимы: знание о сумме больше 7 меняет вероятность того, что первый бросок был чётным.

Ответ: события A и B зависимы. То, что события описывают разные характеристики бросков, само по себе независимость не доказывает.

Типичные ошибки

Путать P(A|B) и P(B|A) — значит поменять местами событие, вероятность которого ищут, и условие. Их допускают, потому что обе записи содержат одни и те же буквы, но порядок имеет смысл. Проверьте себя: после вертикальной черты должно стоять событие, которое уже произошло.

Использовать формулу P(A|B) = P(A∩B)/P(B), не проверив P(B) > 0, нельзя: при нулевом знаменателе деление не определено. Такая ошибка возникает, когда формулу применяют механически. Сначала выясните, может ли произойти событие-условие B, и только потом подставляйте вероятности.

Считать события независимыми только потому, что они описывают разные признаки или кажутся несвязанными, — ненадёжный вывод. В задачах один признак может ограничивать возможные исходы для другого, хотя словами они не похожи. Проверяйте равенство P(A∩B) = P(A)P(B), а не впечатление от формулировки.

При извлечении без возвращения нельзя оставлять вероятность второго результата прежней: состав оставшихся исходов изменился после первого шага. Ошибку допускают, если считают испытания одинаковыми и не учитывают условие первого извлечения. Запишите количество оставшихся предметов и подходящих среди них после каждого результата.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия случайного, достоверного и невозможного событий, правила вычисления вероятностей и пересечение событий. Условную вероятность применяют в последовательных испытаниях, при выборе без возвращения и при анализе наблюдений, когда известна дополнительная информация. Формула умножения помогает решать более сложные задачи о совместном наступлении событий. Независимость и условные вероятности также служат основой для формулы полной вероятности.

Что запомнить

• P(A|B) = P(A∩B)/P(B), если P(B) > 0.
• При равновозможных исходах условная вероятность — доля исходов события A среди исходов события B.
• P(A∩B) = P(B)P(A|B).
• События A и B независимы тогда и только тогда, когда P(A∩B) = P(A)P(B).
• Для независимых событий P(A|B) = P(A), если P(B) > 0.
• В общем случае P(A|B) не равно P(B|A).