Комбинации событий. Противоположное событие

Определения и обозначения

Сумма событий A и B — событие A + B, которое происходит, если произошло хотя бы одно из событий A или B. Его исходы принадлежат A, B или обоим событиям сразу. Такое обозначение помогает описать условие со словом «или» и не пропустить исходы, подходящие сразу под оба условия.

Произведение событий A и B — событие AB, которое происходит, если одновременно произошли A и B. В него входят только общие исходы двух событий. Обозначение удобно, когда условие задачи требует выполнения сразу двух требований, например «выпало чётное число и число больше четырёх».

Несовместные события — события, которые не могут произойти одновременно; их произведение является невозможным событием. Иначе говоря, у них нет общих исходов. Это понятие позволяет понять, можно ли просто складывать вероятности событий или нужно учитывать их пересечение.

Событие, противоположное событию A, обозначают Ā; оно происходит тогда и только тогда, когда A не происходит. Эти два события вместе охватывают все возможные исходы и не происходят одновременно. Противоположное событие используют, когда подсчитать исходы, не подходящие под A, проще, чем считать подходящие.

Как это устроено

Сумму событий удобно понимать как объединение их исходов: в неё попадают исходы, принадлежащие хотя бы одному событию. Это следует из самого условия «A или B»: для выполнения условия достаточно попасть в A, в B или в оба сразу. Например, если A — выпадение чётного числа, а B — выпадение числа больше четырёх, сумма включает и 2, и 5. Поэтому при перечислении исходов каждый подходящий результат записывают только один раз.

Произведение событий, напротив, включает только общие исходы A и B. Чтобы событие AB произошло, один и тот же результат должен удовлетворять обоим условиям, а выполнение только одного из них недостаточно. Это объясняет, почему произведение соответствует связке «и». При решении сначала выписывают исходы каждого события, а затем оставляют пересечение этих списков.

Несовместность проверяют по общим исходам, потому что именно общий исход мог бы привести к одновременному наступлению событий. Если пересечение пусто, ни один результат не удовлетворяет двум условиям сразу, следовательно, события несовместны. Тогда AB — невозможное событие и P(AB) = 0. Если хотя бы один общий исход есть, события совместны, даже если вероятность этого исхода мала.

Событие Ā дополняет A до всего пространства элементарных исходов — множества всех возможных результатов испытания. Каждый исход либо удовлетворяет условию A, либо не удовлетворяет ему, поэтому принадлежит ровно одному из событий A и Ā. Благодаря этому их вероятности в сумме дают 1. Отсюда получается формула P(Ā) = 1 − P(A), которая часто сокращает подсчёты.

Для суммы событий используют формулу P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB). При сложении вероятностей исходы, общие для A и B, оказываются учтены два раза, хотя в сумме событий должны учитываться один раз; поэтому вероятность произведения вычитают. Если события несовместны, общих исходов нет и P(AB) = 0, значит, P(A + B) = P(A) + P(B). Формулы применяют после того, как разобрались, какие исходы образуют события.

Комбинации событий и их свойства

Пользуйтесь таблицей, чтобы сопоставить формулировку задачи с нужной комбинацией: «или» обычно указывает на сумму, а «и» — на произведение. Перед применением формулы суммы проверьте, есть ли общие исходы. Если события несовместны, пересечение равно нулю; если речь идёт о том, что A не произошло, используйте противоположное событие.

Разбор задач

События при броске кубика

При броске игрального кубика событие A — выпадение чётного числа, событие B — выпадение числа больше 4. Опишем A + B и AB перечислением исходов. Возможные результаты одного броска — числа от 1 до 6, поэтому можно проверить каждое из них по условиям событий.

1. Выпишем событие A: A = {2, 4, 6}, так как это чётные числа на кубике.
2. Выпишем событие B: B = {5, 6}, потому что только эти числа больше 4.
3. Для суммы соберём результаты, которые входят хотя бы в один список, не повторяя 6: A + B = {2, 4, 5, 6}.
4. Для произведения оставим общие результаты: AB = {6}, поскольку 6 — единственное число, которое одновременно чётное и больше 4.

Проверка смысла помогает не перепутать ответы: для суммы достаточно одного условия, а произведение требует обоих. В частности, 5 входит в сумму, но не входит в произведение. Ответ: A + B = {2, 4, 5, 6}, AB = {6}.

Вероятность события и его дополнения

При броске кубика найдите вероятность того, что выпадет число, не превосходящее 2, если вероятность противоположного события равна 2/3. Обозначим искомое событие через A, тогда данная вероятность относится к Ā. Так как A и Ā противоположны, их вероятности в сумме равны 1.

1. Запишем связь вероятностей: P(A) + P(Ā) = 1.
2. Подставим известное значение: P(A) + 2/3 = 1.
3. Вычтем 2/3 из единицы: P(A) = 1 − 2/3 = 1/3.

Полученное значение согласуется с классическим подсчётом: из шести равновозможных исходов условию «не превосходит 2» отвечают 1 и 2. Это два исхода из шести, то есть 2/6 = 1/3. Ответ: вероятность искомого события равна 1/3.

Король или черва

Из колоды в 36 карт наугад вытягивают одну карту. Найдём вероятность того, что карта — король или черва. Пусть A — событие «вытянут король», B — событие «вытянута черва»; их общая карта — король червей. События совместны, поэтому простое сложение вероятностей дважды учло бы эту карту.

1. В колоде 4 короля, поэтому P(A) = 4/36.
2. Червей 9, поэтому P(B) = 9/36.
3. Пересечение A и B состоит из одной карты, короля червей: P(AB) = 1/36.
4. Применим формулу суммы: P(A + B) = 4/36 + 9/36 − 1/36 = 12/36 = 1/3.

Вычитание одной карты из пересечения исправляет двойной подсчёт и оставляет 12 подходящих карт из 36. Ответ: вероятность вытянуть короля или черву равна 1/3.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать сумму событием, при котором произошли оба события. Её провоцирует привычка воспринимать знак «+» как требование сложить условия, хотя здесь он означает «хотя бы одно». Проверьте себя вопросом: подойдёт ли исход, который принадлежит только A или только B? Если да, он входит в A + B.

Вторая ошибка — считать, что произведение означает наступление хотя бы одного события. Обычно её допускают, смешивая запись AB с объединением исходов. Для проверки возьмите пример результата, который удовлетворяет только одному условию: он не должен входить в AB. В произведении остаются лишь исходы, общие для A и B.

Третья ошибка — складывать вероятности любых двух событий без поправки на пересечение. Так поступают, забывая, что общий исход при сложении P(A) и P(B) учитывается дважды. Перед вычислением выпишите пересечение; если оно непусто, вычтите P(AB). Только для несовместных событий вероятность пересечения равна нулю и поправка не меняет сумму.

Четвёртая ошибка — называть противоположным любое событие, несовместное с A. Несовместное событие может охватывать лишь часть исходов, которые не входят в A, поэтому два события не обязательно составляют все возможности. Чтобы проверить, что B = Ā, убедитесь одновременно в двух вещах: A и B не пересекаются, а вместе охватывают все исходы испытания.

Связь с другими темами

Для работы с комбинациями событий нужно знать пространство элементарных исходов, случайное событие и классическое определение вероятности. Они позволяют перечислить результаты и оценить вероятность события при равновозможных исходах. Сумма и произведение применяются в задачах на вероятность объединения и пересечения событий. Противоположное событие связывает вероятность события с вероятностью его дополнения и особенно полезно, когда проще посчитать случаи, в которых событие не происходит.

Что запомнить

• A + B происходит, если произошло хотя бы одно из событий A и B.
• AB происходит, если произошли оба события.
• Для несовместных событий AB — невозможное событие.
• P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB).
• Для несовместных событий P(A + B) = P(A) + P(B).
• A и Ā образуют противоположные события.
• P(Ā) = 1 − P(A).