События

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие, результат которого заранее неизвестен, хотя возможные результаты можно описать. Например, до броска монеты неизвестно, какой стороной она упадёт, но варианты известны. Это понятие помогает отделить ситуацию, которую изучают, от её результата.

Элементарный исход — один отдельный возможный результат случайного опыта. При бросании игральной кости таким исходом может быть выпадение числа 4. Перечисление исходов позволяет точно определить, какие результаты вообще возможны.

Событие — утверждение о результате опыта, которое после его проведения может оказаться истинным или ложным. Например, «выпало число больше 4» проверяют по полученному результату. Это понятие нужно, чтобы говорить не только о конкретном результате, но и о признаке, которому могут соответствовать разные результаты.

Достоверное, невозможное и случайное события — события, которые соответственно происходят всегда, не происходят никогда или могут произойти, а могут и не произойти. Их различают, сопоставляя событие со всеми возможными исходами. Такая классификация показывает, насколько широко событие охватывает результаты опыта.

Как это устроено

Чтобы описать случайный опыт, сначала формулируют, какое действие выполняют, а затем записывают допустимые результаты. Например, опыт «бросить стандартную игральную кость» имеет шесть исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Опыт нельзя смешивать с результатом: бросание — действие, а выпадение числа 3 — один из вариантов его завершения. Полный список нужен, чтобы не приписывать событию результат, который в этом опыте невозможен.

Событие связывают с исходами, потому что его истинность определяется тем, какой результат получен. У события «выпало число меньше 3» утверждение верно при исходах 1 и 2, но неверно при остальных. Значит, событие происходит тогда и только тогда, когда результат опыта входит в подходящий ему набор. Такой способ описания делает проверку события точной, а не зависящей от догадки.

Элементарный исход — один результат, а событие может соответствовать как одному, так и нескольким результатам. Например, при бросании кости событию «выпала единица» соответствует один исход, а событию «выпало число меньше 4» — три: 1, 2 и 3. В первом случае событие называют элементарным, во втором оно объединяет несколько исходов. Различие важно, потому что событие не всегда совпадает с одним конкретным результатом.

Вид события определяют сравнением подходящих исходов с полным списком результатов опыта. Если подходят все исходы, событие достоверное; если ни один — невозможное; если только некоторые — случайное. Например, при бросании кости событие «выпало число от 1 до 6» достоверно, «выпало 8» невозможно, а «выпала шестёрка» случайно. Проверка всего набора исходов надёжнее, чем оценка события по одному проведённому опыту.

При разборе примеров важно сначала описать сам опыт и только потом формулировать событие. Для монеты возможны орёл и решка, для кости — числа от 1 до 6, а при выборе предмета — все предметы, которые лежат в коробке. Затем выбирают результаты, подходящие под условие события. Такой порядок помогает не пропустить исходы и правильно определить вид события.

Виды событий и их связь с исходами опыта

Сначала определите полный набор исходов для выбранного опыта, а затем сравните с ним событие. Если его набор совпал со всем списком, событие достоверное; если он пуст, событие невозможное. Когда подходят некоторые исходы, перед вами случайное событие.

Разбор задач

Задача 1. Бросают монету. Назовите возможные элементарные исходы и задайте событие «выпал орёл». Нужно различить результаты опыта и утверждение, которое проверяется по результату. Считаем монету обычной: она может упасть одной из двух сторон.

1. Записываем все элементарные исходы: орёл и решка. Это полный список возможных результатов броска.
2. Событию «выпал орёл» соответствует только исход «орёл». Исход «решка» этому условию не подходит.
3. Событие не является достоверным, потому что подходит не каждый исход, и не является невозможным, потому что подходящий исход есть. Значит, это случайное событие.

Ответ: возможные исходы — орёл и решка; событие «выпал орёл» задаётся исходом «орёл» и является случайным. Само бросание — опыт, а орёл или решка — возможные результаты. Это различие позволяет записать событие отдельно от действия.

Задача 2. Бросают игральную кость. Опишите исходами событие «выпало чётное число» и определите, является ли оно случайным. Важно не перечислять только один пример подходящего числа, а найти все результаты, удовлетворяющие условию. У стандартной кости возможны числа от 1 до 6.

1. Записываем все элементарные исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Они составляют полный набор результатов броска.
2. Из этого набора выбираем чётные числа: 2, 4, 6. Именно этим исходам соответствует заданное событие.
3. Набор выбранных исходов не пуст, но в нём нет чисел 1, 3 и 5. Следовательно, событие соответствует лишь части возможных результатов и является случайным.

Ответ: событие задаётся исходами 2, 4 и 6; оно случайное. Если бы подходили все шесть исходов, событие было бы достоверным. Если бы не подходил ни один, оно было бы невозможным.

Задача 3. Из коробки с карточками от 1 до 10 наугад достают одну. Для событий «номер меньше 11», «номер равен 12» и «номер чётный» найдите подходящие исходы и укажите вид каждого события. Сначала нужно выписать все допустимые результаты, иначе легко принять невозможный номер за реальный. Здесь полный набор — числа от 1 до 10.

1. Для события «номер меньше 11» подходят исходы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Они совпадают со всем набором результатов, поэтому событие достоверное.
2. Для события «номер равен 12» подходящих исходов нет, так как карточки с таким номером в коробке нет. Событие невозможное.
3. Для события «номер чётный» подходят исходы 2, 4, 6, 8, 10. Это часть полного набора, поэтому событие случайное.

Ответ: «номер меньше 11» — достоверное событие; «номер равен 12» — невозможное; «номер чётный» — случайное. Во всех трёх случаях вид определяется сравнением подходящих исходов с числами от 1 до 10. Такой способ работает и для других опытов, если заранее известны все их возможные результаты.

Типичные ошибки

• Называют событием сам случайный опыт, например бросание монеты. Это происходит потому, что в обычной речи действие и его результат часто описывают вместе. Проверьте себя: опыт отвечает на вопрос «что делают?», а событие — «какое утверждение о результате проверяют?».

• Считают событие и элементарный исход одним и тем же. Так бывает, когда в простом примере событию соответствует только один результат, но событие может объединить несколько исходов. Проверьте, нельзя ли для условия задачи перечислить два или больше подходящих результатов.

• Объявляют событие невозможным только потому, что оно маловероятно. Редкое событие всё же может произойти, если ему соответствует хотя бы один допустимый исход. Для проверки найдите полный список исходов и убедитесь, что среди них действительно нет ни одного подходящего.

• Считают событие достоверным, если оно произошло в одном опыте. Единичный результат не показывает, что событие произойдёт всегда; достоверность означает соответствие каждому возможному исходу. Проверьте все результаты, а не только тот, который выпал при одном наблюдении.

Связь с другими темами

Для описания событий нужно уметь составлять множество возможных результатов и проверять, входит ли конкретный результат в заданное множество. Это навык работы с множествами, который помогает точно записывать условия задач. Понятия случайного и элементарного исхода служат основой для дальнейшего изучения вероятности и правил её вычисления. Описание опытов и событий используют при анализе игр, испытаний и статистических данных.

Что запомнить

• Случайный опыт имеет заранее неизвестный результат.
• Элементарный исход — отдельный возможный результат опыта.
• Событие происходит, если полученный исход ему соответствует.
• Событие может объединять один или несколько элементарных исходов.
• Достоверное событие охватывает все возможные исходы.
• Невозможному событию не соответствует ни один возможный исход.
• Случайное событие соответствует части возможных исходов.