§ 65. События

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие, результат которого заранее неизвестен, но возможные исходы можно описать. Например, при броске кубика заранее нельзя узнать выпавшее число, однако известно, что возможны числа от 1 до 6. Это понятие нужно, чтобы отделить изучаемую ситуацию от её результата.

Элементарный исход — один из отдельных возможных результатов случайного опыта. При броске кубика каждый результат, от 1 до 6, является элементарным исходом. Событие происходит тогда, когда полученный исход входит в число подходящих для него.

Событие — утверждение о результате опыта, которое после его проведения может оказаться истинным или ложным. Например, утверждение «выпало чётное число» истинно при результате 2, 4 или 6 и ложно при остальных результатах. Такое понимание позволяет описывать событие через множество исходов, при которых оно происходит.

Достоверное событие происходит при любом исходе, невозможное — ни при одном, а случайное может произойти или не произойти. Например, при броске обычного кубика событие «выпало число от 1 до 6» достоверно, а «выпало 7» невозможно. Различение этих видов помогает проверить, согласуется ли условие задачи с возможными результатами опыта.

Как это устроено

Чтобы описать событие, сначала перечисляют все возможные элементарные исходы опыта, потому что без этого нельзя понять, какие результаты вообще могут наступить. Затем из общего списка выбирают те исходы, при которых условие события выполняется. Полученное множество и является описанием события. Такой порядок помогает не пропустить подходящий результат и не включить неподходящий.

Обозначим множество всех исходов через Ω, а событие — через A. Тогда A является подмножеством Ω: в него входят только некоторые исходы или, в случае достоверного события, все исходы. Чтобы проверить, произошло ли A при конкретном результате, достаточно установить, принадлежит ли этот результат множеству A. Если принадлежит, событие произошло; если нет — не произошло.

Фраза «произошло хотя бы одно из событий A и B» допускает три варианта: произошло только A, только B или сразу оба. Поэтому исходы объединения A∪B — это все исходы, входящие хотя бы в одно из множеств. Напротив, слова «произошли одновременно A и B» требуют, чтобы оба условия выполнялись для одного результата. Значит, исходы пересечения A∩B — только общие элементы A и B.

Событие, противоположное A, включает все исходы, при которых A не происходит. Его часто обозначают Ā. Оно дополняет множество A до полного множества Ω: каждый исход относится либо к A, либо к Ā, но не к обоим сразу. Такое описание удобно, когда перечислить исходы «не A» проще, чем напрямую задавать нужное событие.

События называют несовместными, если при одном проведении опыта они не могут произойти одновременно. Причина в том, что ни один элементарный исход не должен удовлетворять обоим условиям сразу. На языке множеств это означает отсутствие общих элементов: A∩B — пустое множество. Если хотя бы один общий исход есть, события совместны.

Виды событий и действия над ними

Пользуйтесь таблицей после того, как записали множество всех возможных исходов: тогда каждое событие можно проверить по его элементам. Для слов «хотя бы одно» выбирайте объединение, а для слов «одновременно» — пересечение. Условие A∩B = ∅ сразу показывает, что события несовместны.

Разбор задач

Задача 1. При броске игрального кубика опишите событие A: выпало число больше 4. Перечислите исходы события. Сначала зададим все результаты, которые может дать кубик, поскольку от этого зависит, какие числа сравнивать с 4. Затем оставим только те, которые строго больше 4.

1. Запишем множество возможных исходов: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Это полный список результатов одного броска.
2. Проверим числа по условию «больше 4». Подходят 5 и 6, а число 4 не подходит, потому что оно равно 4, а не больше него.
3. Запишем событие как множество исходов: A = {5, 6}. Любой из этих результатов означает, что событие произошло.

Ответ: A = {5, 6}. Перечисление исходов показывает, что именно должно выпасть, чтобы условие задачи стало истинным. Так можно проверить событие для любого результата броска.

Задача 2. При броске кубика заданы события A: выпало чётное число и B: выпало число больше 3. Найдите исходы A∪B и A∩B. Чтобы не спутать действия, сначала составим оба множества отдельно, а потом применим определения объединения и пересечения.

1. Все исходы опыта — {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Чётные результаты дают A = {2, 4, 6}, а числа больше 3 дают B = {4, 5, 6}.
2. Для объединения соберём исходы, которые есть хотя бы в одном из множеств. Получаем A∪B = {2, 4, 5, 6}; числа 4 и 6 записываем только один раз.
3. Для пересечения оставим общие элементы двух множеств. И 4, и 6 входят в A и B, поэтому A∩B = {4, 6}.

Ответ: A∪B = {2, 4, 5, 6}, A∩B = {4, 6}. Например, результат 5 подходит объединению, но не пересечению: он удовлетворяет условию B, однако не является чётным. Результаты 4 и 6 удовлетворяют обоим условиям.

Задача 3. Из коробки наугад достают карточку с числом от 1 до 12. Событие A — число делится на 2, событие B — число делится на 3. Найдём событие, противоположное A, A∪B и A∩B, а затем проверим совместность событий. Удобно начать с двух множеств, чтобы сравнивать их элементы.

1. Запишем исходы: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Тогда A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, а B = {3, 6, 9, 12}.
2. Противоположное событие включает все числа от 1 до 12, не делящиеся на 2. Поэтому Ā = {1, 3, 5, 7, 9, 11}.
3. Объединение включает числа из A или B: A∪B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}. Пересечение состоит из общих чисел: A∩B = {6, 12}.
4. Общие исходы 6 и 12 показывают, что A и B могут произойти одновременно. Следовательно, события совместны.

Ответ: Ā = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, A∪B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}, A∩B = {6, 12}; A и B совместны. Числа 6 и 12 делятся и на 2, и на 3. Именно наличие хотя бы одного общего исхода исключает несовместность.

Типичные ошибки

Событие иногда принимают за само действие или предмет: например, называют событием «бросок кубика» или «карточку». Так происходит, когда смешивают опыт и утверждение о его результате. Проверьте себя: событие должно описывать, каким оказался результат, и можно ли решить по нему, произошло оно или нет.

Объединение и пересечение путают из-за того, что оба действия относятся сразу к двум событиям. В объединение входят исходы хотя бы одного события, а в пересечение — только общие; если не уточнить смысл союза «или» и слова «одновременно», выбор легко перепутать. Для проверки произнесите условие своими словами: «хотя бы одно» означает A∪B, «оба сразу» — A∩B.

Противоположным событию A считают любое событие с другим условием. Ошибка возникает потому, что обычное слово «противоположный» кажется достаточно широким, но в теории вероятностей дополнение строго задано. Проверьте, что в противоположное событие вошли все исходы Ω, не входящие в A, и ни один исход из A.

Разные формулировки событий не означают, что они несовместны. Например, события «выпало чётное число» и «выпало число больше 3» описаны по-разному, но оба происходят при 4 и 6. Проверяйте не сходство слов, а наличие общих исходов: если A∩B не пусто, события совместны.

Связь с другими темами

Для работы с событиями нужны понятия множества и подмножества, а также умение находить объединение и пересечение; ещё до начала решения важно уметь перечислять исходы опыта. Это позволяет переводить условия задачи на точный язык множеств и не терять возможные результаты. Понятия событий служат основой для вычисления вероятностей и правил их сложения и умножения. Перечисление исходов также помогает разбирать случайные опыты и решать задачи на комбинаторику.

Что запомнить

• Событие задаётся условиями на исходы случайного опыта.
• Событие происходит тогда и только тогда, когда результат опыта является одним из его исходов.
• Достоверное событие происходит всегда, невозможное не происходит никогда.
• A∪B происходит, если происходит хотя бы одно из событий A и B.
• A∩B происходит, если происходят оба события A и B.
• Противоположное событию A включает все исходы, не входящие в A.
• Несовместные события не имеют общих исходов.