§ 66. Комбинации событий. Противоположное событие

Определения и обозначения

Сумма событий A и B, обозначаемая A + B, — событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A или B. Иными словами, для суммы достаточно, чтобы произошло A, B или оба события сразу. Это обозначение используют, когда нужно описать несколько подходящих вариантов результата опыта.

Произведение событий A и B, обозначаемое AB, — событие, состоящее в одновременном наступлении A и B. Для него подходят только те исходы, при которых выполняются оба условия. Произведение помогает выделить общую часть событий и проверить, могут ли они произойти вместе.

Противоположное событию A событие, обозначаемое Ā, наступает тогда и только тогда, когда A не наступает. Оно включает все исходы опыта, не входящие в A. Такое обозначение удобно, когда вероятность события проще найти через вероятность того, что оно не произойдёт.

Несовместные события — события, которые не могут наступить одновременно. Их произведение является невозможным событием, так как нет исхода, принадлежащего сразу обоим событиям. Понятие несовместности позволяет применять упрощённую формулу для вероятности суммы.

Как это устроено

Чтобы построить сумму событий, можно перечислить все возможные исходы опыта и отметить те, которые входят в A или в B. Подходят исходы из A, исходы из B, а также общие исходы, если события пересекаются. Поэтому сумма объединяет два набора исходов, а не требует, чтобы оба события наступили. Например, если достаточно получить чётное число или число больше 4, подойдут результаты, удовлетворяющие хотя бы одному условию.

Для произведения выбирают только исходы, которые входят одновременно в A и B. Это следует из самого условия «A и B»: одного выполненного условия недостаточно. Если события несовместны, общих исходов нет, поэтому AB — невозможное событие. В таком случае сумма охватывает все исходы, входящие в A или B, но не обязательно весь набор исходов опыта: достоверной она будет лишь тогда, когда A и B вместе покрывают все варианты.

Событие Ā дополняет A до полного набора исходов. Каждый результат опыта либо принадлежит A, либо не принадлежит ему, поэтому он входит в Ā; попасть сразу в A и Ā невозможно. Значит, в каждом испытании происходит ровно одно из этих событий. Это и объясняет, почему A и Ā несовместны, а их сумма является достоверным событием.

Вероятность достоверного события равна 1. Поскольку A и Ā несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей: P(A + Ā) = P(A) + P(Ā). Но A + Ā достоверно, следовательно, P(A) + P(Ā) = 1. Перенеся P(A), получаем формулу P(Ā) = 1 − P(A), которая особенно полезна, если легче посчитать вероятность неудачи или отказа от события.

Для несовместных событий общих исходов нет, поэтому при сложении P(A) и P(B) ни один исход не учитывается дважды. Отсюда P(A + B) = P(A) + P(B). Если события пересекаются, общая часть AB попадает в вероятность каждого события и при сложении считается дважды; её нужно вычесть один раз. Тогда используют формулу P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB).

Комбинации событий и их свойства

Пользуясь таблицей, сначала определите, что именно требуется: хотя бы одно событие, оба сразу или ненаступление события. Затем выясните, могут ли A и B произойти вместе. От этого зависит, можно ли сложить вероятности напрямую или нужно вычесть вероятность произведения.

Разбор задач

Исходы событий при бросании кубика

При бросании кубика событие A — выпало чётное число, событие B — выпало число больше 4. Нужно перечислить исходы A, B, A + B и AB. Обозначим все возможные результаты кубика числами от 1 до 6.

1. К чётным результатам относятся 2, 4 и 6, поэтому A = {2, 4, 6}.
2. Числа больше 4 — это 5 и 6, значит, B = {5, 6}.
3. Для суммы объединяем наборы, не повторяя общий исход 6: A + B = {2, 4, 5, 6}.
4. Для произведения оставляем только общий исход событий A и B. Таким исходом является 6, следовательно, AB = {6}.

Ответ: A = {2, 4, 6}, B = {5, 6}, A + B = {2, 4, 5, 6}, AB = {6}. Здесь исход 6 входит в оба события, поэтому он попадает и в сумму, и в произведение. Различие в том, что сумма включает также исходы, принадлежащие только одному событию.

Вероятность суммы несовместных событий

При бросании кубика событие A — выпало число 1, а событие B — выпало число 6. Найдём вероятность A + B. У кубика шесть равновозможных исходов, и каждое из названных событий соответствует одному исходу.

1. Запишем наборы: A = {1}, B = {6}. Общих исходов у них нет, поэтому A и B несовместны.
2. Применим формулу для суммы несовместных событий: P(A + B) = P(A) + P(B).
3. Вероятности каждого события равны 1/6, поэтому P(A + B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Ответ: P(A + B) = 1/3. Сумма наступает, если выпала единица или шестёрка, то есть подходят два исхода из шести. Поскольку эти исходы не могут реализоваться одновременно при одном броске, их вероятности складываются напрямую.

Вероятность противоположного события

Вероятность того, что случайно выбранный билет окажется выигрышным, равна 0,08. Требуется найти вероятность того, что билет не выиграет. Событие «билет не выиграет» является противоположным событию A — «билет выиграет».

1. Обозначим выигрыш билета событием A, тогда его противоположное событие — Ā.
2. Используем формулу P(Ā) = 1 − P(A), поскольку выигрыш и отсутствие выигрыша охватывают все варианты.
3. Подставим известное значение: P(Ā) = 1 − 0,08 = 0,92.

Ответ: вероятность того, что билет не выиграет, равна 0,92. Проверка: вероятности выигрыша и проигрыша в сумме дают 0,08 + 0,92 = 1. Значит, найдены вероятности двух дополняющих друг друга событий.

Типичные ошибки

Путать сумму с одновременным наступлением. Иногда знак «+» воспринимают как требование, чтобы произошли оба события. Это случается из-за бытового смысла слова «сумма», но в теории вероятностей A + B означает «хотя бы одно», а одновременность обозначает AB. Проверьте себя: если подходит исход только из A, он должен войти в сумму.

Складывать вероятности пересекающихся событий напрямую. Формула P(A + B) = P(A) + P(B) верна для несовместных событий. При пересечении общие исходы входят в обе вероятности и оказываются посчитаны дважды. Найдите AB: если он возможен, вычтите P(AB) один раз.

Считать противоположным любое событие, отличное от A. Такое событие может включать лишь часть исходов, при которых A не происходит, поэтому оно не обязательно дополняет A полностью. Ошибка возникает, когда проверяют только различие событий, а не все варианты опыта. Убедитесь, что каждый исход вне A входит в Ā и что в A и Ā нет общих исходов.

Вычитать единицу из вероятности A. Для противоположного события требуется 1 − P(A), а не P(A) − 1. Неверный порядок даёт отрицательное число, хотя вероятность не может быть меньше нуля. Проверьте ответ: P(A) и P(Ā) должны складываться в 1, а каждая вероятность должна лежать от 0 до 1.

Связь с другими темами

Чтобы работать с комбинациями событий, нужно знать, что такое случайный опыт, его исход и событие, а также уметь находить вероятность события. Перечисление исходов помогает увидеть объединение и общую часть событий, а понятие достоверного события обосновывает формулу для Ā. Эти навыки пригодятся при вычислении вероятностей сложных событий, когда нужно учитывать несколько условий сразу. Они также используются в задачах на независимые испытания, где дополнительно анализируют связь результатов разных опытов.

Что запомнить

• A + B наступает, если произошло хотя бы одно из событий A и B.
• AB наступает, если A и B произошли одновременно.
• Для несовместных событий AB — невозможное событие.
• События A и Ā несовместны и вместе образуют достоверное событие.
• P(A) + P(Ā) = 1.
• Для несовместных событий P(A + B) = P(A) + P(B).