"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Вероятность события — число, которое показывает, насколько возможно его наступление в случайном опыте. Чтобы найти вероятность, перечисляют все исходы и выясняют, какие из них благоприятны для нужного события. Если исходов конечное число и все они равновозможны, вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Она всегда находится между 0 и 1; вероятность события, противоположного A, равна 1 − P(A).
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайный опыт — действие или наблюдение, результат которого заранее неизвестен, хотя возможные исходы известны. Например, при броске монеты нельзя заранее знать, что выпадет, но варианты «орёл» и «решка» известны. Это понятие помогает отделить случайные ситуации от тех, где результат можно определить заранее.
Событие — результат случайного опыта или совокупность его исходов. Событие называют достоверным, если оно обязательно произойдёт, невозможным — если произойти не может, и случайным — если оно может как наступить, так и не наступить. Такое деление позволяет описывать разные варианты результата опыта.
Равновозможные исходы — исходы, каждый из которых имеет одинаковую возможность наступить. Например, при подбрасывании правильной монеты орёл и решка равновозможны. Для подсчёта вероятности важно заранее перечислить полный набор исходов: иначе нельзя правильно определить, сколько результатов сравнивать.
Вероятность события — численная мера возможности наступления события; вероятность события A обозначают P(A). Она показывает, насколько часто событие можно ожидать при повторении одинакового опыта. Для конечного набора равновозможных исходов вероятность можно найти подсчётом, а обозначение P(A) удобно использовать в формулах и рассуждениях.
Случайный опыт описывают набором всех его возможных исходов. Каждый исход должен быть указан достаточно точно, чтобы результаты можно было различить и подсчитать; при броске кубика это числа от 1 до 6. Событие задают выбором одной или нескольких частей этого набора: например, событию «выпало чётное число» соответствуют исходы 2, 4 и 6. Такой способ записи позволяет понять, какие результаты учитываются.
В опыте с конечным числом равновозможных исходов вероятность находят как долю исходов, подходящих событию. Причина в том, что каждый исход имеет одинаковый шанс, поэтому при объединении нескольких подходящих исходов их шансы складываются. Если событию благоприятна половина всех исходов, оно имеет вероятность 1/2. При неравных шансах такой подсчёт уже не работает: число исходов само по себе не показывает, насколько вероятно событие.
Формула вероятности имеет вид P(A) = m/n. Здесь n — число всех исходов опыта, а m — число исходов, при которых событие A наступает; такие результаты называют благоприятными для A. В числитель попадают только они, потому что остальные исходы не приводят к нужному событию. Знаменатель включает весь набор, поскольку вероятность сравнивает благоприятные результаты со всеми возможными.
Достоверное событие включает все возможные исходы, поэтому для него m = n и P(A) = n/n = 1. Для невозможного события нет ни одного благоприятного исхода: m = 0, значит, вероятность равна 0. У любого события число благоприятных исходов не может быть меньше нуля или больше общего числа, то есть 0 ≤ m ≤ n. После деления на n получаем ограничение 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Противоположное событие «не A» означает, что событие A не произошло. Исходы A и «не A» вместе составляют полный набор и не пересекаются: каждый исход относится ровно к одной из этих групп. Поэтому число исходов, благоприятных для «не A», равно n − m, а его вероятность — (n − m)/n = 1 − P(A). Этот способ особенно полезен, когда исходы, при которых A не происходит, проще перечислить.
| Вид события или характеристика | Число благоприятных исходов | Вероятность |
|---|---|---|
| Достоверное событие | n | 1 |
| Невозможное событие | 0 | 0 |
| Случайное событие | m, где 0 < m < n | m/n |
| Противоположное событие не A | n − m | 1 − P(A) |
| Ограничение для вероятности | 0 ≤ m ≤ n | 0 ≤ P(A) ≤ 1 |
В таблице n обозначает общее число равновозможных исходов, а m — число исходов, благоприятных событию A. Сначала определите вид события и число подходящих исходов, затем используйте соответствующую строку. Для противоположного события можно либо вычесть m из n, либо воспользоваться формулой 1 − P(A).
Задача 1. Правильную монету подбрасывают один раз. Найдите вероятность выпадения орла.
Ответ: вероятность выпадения орла равна 1/2.
Задача 2. В коробке лежат 4 красных и 6 синих одинаковых на ощупь шаров. Наугад достают один шар. Найдите вероятность достать красный шар и вероятность не достать красный.
Ответ: вероятность достать красный шар — 2/5, не достать красный — 3/5.
Задача 3. Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8.
Ответ: вероятность того, что сумма очков равна 8, — 5/36.
Первая ошибка — считать подходящие исходы, не задав полный набор результатов опыта. Тогда знаменатель неизвестен, а равновозможность исходов не проверена. Обычно это происходит из-за желания сразу посчитать нужные варианты. Для проверки перечислите все исходы или объясните, как получили их общее число.
Формулу m/n иногда применяют, даже если исходы имеют разные шансы. В этом случае одинаковое число исходов не означает одинаковую вероятность, и подсчёт может дать неверный ответ. Ошибка возникает, когда равновозможность принимают без проверки. Перед вычислением выясните, действительно ли каждый исход одинаково вероятен.
При броске двух кубиков пары (2, 6) и (6, 2) нельзя объединять в один исход. Первое число относится к первому кубику, второе — ко второму, поэтому результаты различаются. Их путают, если рассматривают только сумму или не учитывают порядок. Проверьте, что в общем числе исходов учтены все 6 · 6 упорядоченных пар.
Вероятность не может быть меньше 0 или больше 1, а значение 0 означает невозможное, а не просто редкое событие. Путаница возникает, когда вероятность воспринимают как любое число или считают, что малый шанс равен нулю. Проверьте результат по условию 0 ≤ P(A) ≤ 1 и убедитесь, что у редкого события всё же есть хотя бы один благоприятный исход.
Чтобы находить вероятность, нужно уметь перечислять конечные множества и подсчитывать их элементы. Особенно полезно понимать упорядоченные пары: они помогают правильно описать результаты двух последовательных действий или бросков кубиков. Навыки такого подсчёта пригодятся и в комбинаторике.
Понятия случайного опыта и равновозможных исходов становятся основой для более сложных задач на вероятность. Комбинаторные способы подсчёта помогают находить количество исходов, когда перечислить их вручную трудно. При этом необходимо отдельно проверять, что выбранная модель действительно даёт равновозможные исходы.
Противоположное событие связывает вероятность события с вероятностью того, что оно не произойдёт. Этот приём упрощает вычисления, когда исходы, благоприятные событию, перечислить сложнее, чем все остальные. Достаточно найти вероятность противоположного события и вычесть её из 1.
Что именно считать исходом случайного опыта?
Исход — один конкретный результат опыта, который можно отличить от остальных. Например, при броске монеты это «орёл» или «решка», а при броске двух кубиков — конкретная пара выпавших чисел.
Почему исходы должны быть равновозможными, чтобы применять формулу m/n?
Формула m/n сравнивает число благоприятных исходов со всеми исходами и работает, когда у каждого исхода одинаковые шансы. Если одни результаты вероятнее других, простой подсчёт не отражает вероятность события.
Как понять, какие исходы являются благоприятными для события?
Сначала точно сформулируйте событие, а затем отметьте все исходы, при которых оно происходит. Например, для события «сумма очков равна 8» благоприятны все пары результатов кубиков, сумма чисел в которых равна 8.
Почему при броске двух кубиков всего 36 исходов, а не 21?
Учитывают результат каждого кубика отдельно, поэтому исходы — упорядоченные пары: первое число относится к первому кубику, второе — ко второму. Всего таких пар 6 · 6 = 36; например, (2, 6) и (6, 2) — разные исходы.
Как найти вероятность события, если проще посчитать, что оно не произойдёт?
Найдите вероятность противоположного события и вычтите её из 1. Для события A это записывают так: P(A) = 1 − P(не A).
12.1. Понятие вероятности события
