"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Вероятность события помогает оценить, насколько возможен тот или иной исход случайного опыта. Чтобы находить её для нескольких событий, нужно понимать, могут ли они произойти одновременно и есть ли у них общие исходы. В параграфе разбираются противоположные и несовместные события, сумма и произведение событий, а также правила сложения вероятностей. Эти свойства позволяют считать вероятность сложного события без перебора всех исходов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Несовместные события — события, которые не могут произойти одновременно. Их пересечение A ∩ B не содержит исходов, то есть является невозможным событием. Это понятие нужно, чтобы понять, когда вероятность наступления хотя бы одного из двух событий можно найти простым сложением.
Противоположные события — два события, одно из которых происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое. Они несовместны и вместе образуют достоверное событие: либо A, либо событие, противоположное A. Такое обозначение удобно, когда вероятность самого события трудно считать, а вероятность его ненаступления известна.
Суммой событий A и B называют событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них; её обозначают A ∪ B. Это то же самое, что объединение множеств исходов A и B. Понятие помогает описывать вопросы вида «произойдёт A или B, или оба события».
Произведение событий A и B — событие, состоящее в совместном наступлении обоих событий; его обозначают A ∩ B. Это пересечение множеств исходов: в произведение входят только исходы, подходящие и для A, и для B. Оно нужно, чтобы учитывать общую часть событий при вычислении вероятности суммы.
Вероятность любого события неотрицательна, а вероятность достоверного события равна 1. В классическом определении вероятность — это отношение числа подходящих исходов к числу всех равновозможных исходов, поэтому она не может быть меньше нуля или больше единицы. Достоверное событие включает все возможные исходы, и доля подходящих исходов в нём равна единице. Эти ограничения помогают проверять, не получился ли в вычислениях невозможный результат.
Невозможное событие имеет вероятность 0. Достоверное событие можно представить как сумму невозможного события и его противоположного: они несовместны и вместе охватывают все исходы. По правилу сложения вероятностей несовместных событий вероятность их суммы равна сумме вероятностей. Поскольку вероятность достоверного события равна 1, а вероятность его противоположного — тоже 1, вероятность невозможного события должна быть 0.
Противоположные события A и Ā несовместны, а их сумма — достоверное событие. Поэтому P(A) + P(Ā) = 1, откуда P(A) = 1 − P(Ā) и P(Ā) = 1 − P(A). Такая формула особенно полезна, если проще подсчитать исходы, когда A не происходит. Например, вместо подсчёта всех способов получить хотя бы одно попадание можно найти вероятность ни разу не попасть и вычесть её из единицы.
Если A и B несовместны, их общих исходов нет. Поэтому при подсчёте исходов события A ∪ B ни один исход не учитывается дважды, и P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Если же события могут произойти одновременно, простое сложение учитывает исходы их пересечения два раза. Значит, формула для несовместных событий применима только после проверки, что их пересечение невозможно.
Для совместных событий общие исходы сначала попадают в сумму P(A) + P(B) дважды. Чтобы оставить каждую возможность учтённой один раз, вероятность пересечения вычитают: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Если одно событие содержится в другом, то все исходы меньшего события уже входят в большее, поэтому вероятность первого не превосходит вероятность второго. Это даёт полезную проверку при сравнении вероятностей вложенных событий.
| Свойство | Условие | Формула | Что означает |
|---|---|---|---|
| Вероятность достоверного события | Событие включает все исходы | P(Ω) = 1 | Достоверное событие обязательно произойдёт |
| Вероятность невозможного события | Событие не включает исходов | P(∅) = 0 | Невозможное событие не произойдёт |
| Вероятность противоположного события | Ā противоположно A | P(Ā) = 1 − P(A) | Вероятности пары в сумме дают 1 |
| Сложение вероятностей несовместных событий | A ∩ B = ∅ | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) | Общих исходов нет |
| Сложение вероятностей совместных событий | У A и B есть общие исходы | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) | Пересечение вычитают, чтобы не считать дважды |
| Сравнение вероятностей вложенных событий | A содержится в B | P(A) ≤ P(B) | Вероятность части не больше вероятности целого |
Сначала определите, какие исходы входят в каждое событие, и проверьте, есть ли у событий общая часть. Затем выберите строку с подходящим условием: формула для несовместных событий — частный случай формулы для совместных, когда P(A ∩ B) = 0. Полученный результат сверьте с границами вероятности: он должен быть от 0 до 1 включительно.
Задача 1. При одном броске правильного кубика найти вероятность того, что выпадет число, отличное от 6, если вероятность выпадения 6 равна 1/6. Событие «число отлично от 6» противоположно событию «выпало 6». Значит, можно воспользоваться правилом для противоположных событий, не перечисляя отдельно все подходящие грани.
Задача 2. В урне 4 красных и 6 синих шаров, наудачу вынимают один шар. Найти вероятность вынуть красный или синий шар. Эти события несовместны, потому что один вынутый шар не может быть одновременно красным и синим. Всего в урне 10 шаров, и каждый из них имеет один из двух названных цветов.
Задача 3. Из колоды в 36 карт наудачу выбирают одну карту. Найти вероятность того, что карта — туз или черва. События совместны: среди червей есть туз червей, который одновременно является тузом и червой. Поэтому нужно сложить вероятности событий и вычесть вероятность их пересечения.
При сложении вероятностей совместных событий иногда забывают вычесть вероятность пересечения. Так происходит, когда воспринимают «A или B» как две отдельные возможности, не замечая общего исхода. Проверьте, не подходит ли один и тот же исход обоим событиям; если подходит, используйте P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Формулу для несовместных событий нельзя применять к событиям, которые способны произойти одновременно. Ошибка возникает, если ориентироваться только на слова «A или B» и не разбирать сами исходы. Перед сложением выясните, существует ли исход, входящий в оба события: если да, нужно учитывать пересечение.
Вероятности противоположных событий могут быть разными, хотя их сумма всегда равна 1. Их ошибочно считают равными, когда путают противоположность с одинаковой вероятностью. Проверьте себя подстановкой: если P(A) = 1/6, то P(Ā) = 5/6, а не 1/6.
Произведение событий A ∩ B означает, что оба события произошли, но это не означает, что P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Такое умножение требует дополнительных условий, например независимости событий, и не следует из одного определения пересечения. Чтобы проверить себя, сначала уточните, какие условия задачи разрешают перемножать вероятности, и не смешивайте название события с формулой для его вероятности.
Для работы с этим параграфом нужно знать, что называют событием, достоверным и невозможным событиями, а также уметь находить вероятность по классическому определению: считать подходящие и все равновозможные исходы. Свойства вероятностей позволяют переходить от отдельных событий к более сложным сочетаниям. Они пригодятся в задачах на несколько событий, а затем помогут разбираться в условной вероятности, где вероятность рассматривают при дополнительном известии о результате опыта.
Почему вероятность невозможного события равна нулю?
Невозможное событие не содержит ни одного исхода, поэтому не может произойти. Вместе с достоверным событием оно образует всё пространство исходов, а вероятности этих несовместных событий в сумме равны 1. Так как вероятность достоверного события равна 1, на невозможное остаётся 0.
Как найти вероятность события, противоположного данному?
Если событие A противоположно событию Ā, то P(Ā) = 1 − P(A). Нужно вычесть вероятность события A из единицы, потому что ровно одно из двух противоположных событий обязательно произойдёт.
Как понять, являются ли события несовместными?
Проверьте, может ли один и тот же исход одновременно удовлетворять обоим событиям. Если такого исхода нет, события несовместны, а их пересечение — невозможное событие. Например, при одном броске кубика события «выпало 2» и «выпало 5» несовместны.
Почему для совместных событий нельзя просто сложить вероятности?
Если события совместны, некоторые исходы входят в оба события. При простом сложении вероятностей эти исходы учитываются дважды. Поэтому вероятность их пересечения нужно один раз вычесть.
Когда при вычислении вероятности суммы нужно вычитать вероятность пересечения?
Это делают, когда события могут произойти одновременно и имеют общие исходы. Для событий A и B используют формулу P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Если события несовместны, их пересечение невозможно и его вероятность равна нулю.
12.2. Свойства вероятностей событий
