"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Если в тригонометрическом уравнении часто встречается сумма sin x + cos x, её удобно обозначить одной буквой: t = sin x + cos x. Это превращает выражение в новую переменную и помогает свести уравнение к алгебраическому, например квадратному. Но t не может быть любым числом: сумма синуса и косинуса лежит между −√2 и √2. Поэтому после решения уравнения для t нужно проверить корни, а затем вернуться к x и записать все решения с учётом периода.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Замена неизвестного t = sin x + cos x означает, что повторяющуюся сумму синуса и косинуса временно обозначают буквой t. Вместо нескольких одинаковых выражений в уравнении появляется одна переменная. Это упрощает запись и может превратить тригонометрическое уравнение в алгебраическое.
Допустимые значения t — числа из промежутка −√2 ≤ t ≤ √2. Такая граница следует из того, что синус суммы не может быть больше 1 или меньше −1. Она нужна, чтобы отличать возможные значения новой переменной от корней, не соответствующих ни одному x.
Уравнение относительно t — алгебраическое уравнение, которое получают после замены и преобразования исходного. Например, оно может оказаться квадратным, и его корни находят знакомыми способами. Однако каждый корень нужно проверить по допустимому промежутку для t.
Обратная замена — возвращение от найденного значения t к равенству sin x + cos x = t. Затем это равенство решают относительно x. Этот шаг необходим, потому что искомыми в исходной задаче являются значения x, а не t.
Введя t = sin x + cos x, можно сразу заменить каждое вхождение этой суммы на t. Если в уравнении встречается произведение sin x cos x, его тоже можно выразить через новую переменную: квадрат суммы раскрывается как sin² x + 2 sin x cos x + cos² x. Поскольку sin² x + cos² x = 1, получается t² = 1 + 2 sin x cos x, то есть sin x cos x = (t² − 1)/2. Поэтому и суммы, и связанные с ними произведения можно записать через t.
Ограничение на t не является дополнительным условием, которое выбирают произвольно: оно вытекает из свойств синуса. Действительно, sin x + cos x = √2 sin(x + π/4), а значения выражения справа находятся между −√2 и √2. Если после алгебраических преобразований получилось, например, t = 2, такого значения не может дать ни один x. Поэтому проверка промежутка позволяет сразу отбросить невозможные корни и не тратить время на попытку решить несуществующее обратное уравнение.
После замены исходное уравнение решают как обычное алгебраическое, не забывая о равносильности преобразований. Например, если получается квадратное уравнение, сначала находят его корни, а затем отдельно проверяют каждый по условию −√2 ≤ t ≤ √2. Нельзя считать, что любой корень алгебраического уравнения автоматически подходит исходному: оно могло быть получено без учёта диапазона значений выражения sin x + cos x. Оставшиеся корни подставляют в обратную замену.
Чтобы выполнить обратную замену, сумму представляют как √2 sin(x + π/4). Тогда равенство sin x + cos x = t превращается в sin(x + π/4) = t/√2. Правая часть для допустимого t лежит в [−1; 1], поэтому уравнение имеет решения. Синус принимает одно значение при двух семействах аргументов за период; их записывают с добавлением 2πk, где k ∈ Z, а после этого выражают x.
| Что рассматриваем | Соотношение | Как использовать |
|---|---|---|
| Новая переменная | t = sin x + cos x | Заменить повторяющуюся сумму одной буквой. |
| Допустимые значения t | −√2 ≤ t ≤ √2 | Проверить каждый найденный корень. |
| Произведение sin x cos x через t | sin x cos x = (t² − 1)/2 | Переписать произведение через новую переменную. |
| Сумма синуса и косинуса для обратной замены | sin x + cos x = √2 sin(x + π/4) | Решить уравнение относительно x. |
| Переход к решению исходного уравнения | Решить уравнение для t, проверить корни, затем найти x | Завершить замену и записать все решения. |
Сначала выберите соотношение, которое упрощает именно данное уравнение: повторяющуюся сумму заменяют на t, а произведение — на выражение через t. После решения алгебраического уравнения обязательно примените границы для t. Таблица напоминает, что решение заканчивается только после обратной замены и нахождения x.
Задача 1. Решить уравнение sin x + cos x = 1.
Ответ: x = 2πk или x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
Задача 2. Решить уравнение sin² x + cos² x + 2 sin x cos x = 3/2.
Ответ: для каждого a из {√3/2, −√3/2}: x = arcsin a − π/4 + 2πk или x = π − arcsin a − π/4 + 2πk, k ∈ Z.
Задача 3. Решить уравнение (sin x + cos x)² − 3(sin x + cos x) + 2 = 0.
Ответ: x = 2πk или x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
Не проверяют, что −√2 ≤ t ≤ √2. Так оставляют корни, которые не могут быть значениями суммы синуса и косинуса; обычно это происходит, когда решённое уравнение считают окончательным ответом. Проверьте каждый корень сравнением с границами промежутка. Если он вне промежутка, обратное уравнение для него не даст решений.
Неверно раскрывают квадрат суммы. Иногда забывают постоянную 1 и пишут неправильное выражение для (sin x + cos x)². Причина — потеря слагаемых sin² x и cos² x при раскрытии скобок. Перепроверьте формулу: квадрат равен sin² x + 2 sin x cos x + cos² x, а сумма квадратов равна 1.
Останавливаются на корнях относительно t. Корень t — ещё не значение x, поэтому без обратной замены задача не решена. Эта ошибка появляется, когда замену воспринимают как окончательное упрощение, а не как временный шаг. Проверьте, что после каждого допустимого t вы записали уравнение sin x + cos x = t и нашли его решения.
Записывают не все решения уравнения sin(x + π/4) = a. Синус периодичен и обычно принимает одно значение при двух наборах аргументов за период. Если записать только arcsin a, часть решений потеряется. Используйте обе серии: аргумент равен arcsin a + 2πk или π − arcsin a + 2πk, где k ∈ Z.
Для этой замены нужны основное тригонометрическое тождество sin² x + cos² x = 1, формулы преобразования суммы синуса и косинуса и умение решать простейшие тригонометрические уравнения. Из тождества выводится формула для sin x cos x, а представление суммы в виде √2 sin(x + π/4) помогает выполнить обратную замену. Такой приём пригодится в уравнениях, где сумма sin x + cos x или связанные с ней выражения позволяют перейти к алгебраическому уравнению.
Почему сумма sin x + cos x не может быть больше √2 или меньше −√2?
Преобразуем сумму: sin x + cos x = √2 sin(x + π/4). Значения синуса лежат от −1 до 1, поэтому сумма лежит в промежутке [−√2; √2].
Как выразить sin x cos x через t?
Из равенства (sin x + cos x)² = 1 + 2 sin x cos x и определения t получаем t² = 1 + 2 sin x cos x. Значит, sin x cos x = (t² − 1)/2.
Нужно ли проверять корни уравнения относительно t?
Да. Допустимы только значения от −√2 до √2 включительно, потому что t = sin x + cos x не может выйти за эти границы. Корни вне промежутка не соответствуют ни одному x.
Как вернуться от t к исходному уравнению?
Для каждого допустимого значения t решают уравнение sin x + cos x = t. Его переписывают как √2 sin(x + π/4) = t и находят все подходящие x.
Почему при обратной замене нужно записывать все решения с учётом периода?
Синус периодичен с периодом 2π, поэтому одно значение он принимает при бесконечном числе аргументов. Общая запись решений с 2πk, где k ∈ Z, позволяет не потерять значения x.
11.9. Замена неизвестного t = sin х + cos х
