11.8. Введение вспомогательного угла

Определения и обозначения

Вспомогательный угол — это угол φ, который выбирают для представления выражения a sin x + b cos x одной тригонометрической функцией. Его задача — объединить два слагаемых с общим аргументом x. После такой замены уравнение часто становится проще решать.

Амплитуда тригонометрического выражения — число R = √(a² + b²), которым умножают функцию после объединения слагаемых. Она показывает, какой множитель будет перед синусом или косинусом. Если a и b не равны одновременно нулю, то R положительно.

Представление через синус записывается так: a sin x + b cos x = R sin(x + φ), где cos φ = a/R и sin φ = b/R. Эти равенства позволяют подобрать угол, чтобы после раскрытия скобок коэффициенты совпали с исходными. Такой вид удобен, когда уравнение проще решать через синус.

Представление через косинус имеет вид a sin x + b cos x = R cos(x − φ), где cos φ = a/R и sin φ = b/R. Условия на угол совпадают с условиями для синусной формы. Различается только формула, по которой раскрывают выражение.

Как это устроено

Чтобы объединить слагаемые, раскрывают синус суммы: sin(x + φ) = sin x cos φ + cos x sin φ. Значит, R sin(x + φ) превращается в R cos φ sin x + R sin φ cos x. Сравнение с a sin x + b cos x показывает, что нужны равенства R cos φ = a и R sin φ = b.

Почему можно выбрать именно такую амплитуду? Если возвести оба равенства в квадрат и сложить их, получится R²(cos² φ + sin² φ) = a² + b². Так как cos² φ + sin² φ = 1, выходит R² = a² + b². Поэтому при R = √(a² + b²) числа a/R и b/R имеют сумму квадратов 1 и могут быть косинусом и синусом одного угла.

Знаки коэффициентов помогают определить четверть угла: знак a совпадает со знаком cos φ, а знак b — со знаком sin φ. Например, если cos φ положителен, а sin φ отрицателен, угол находится в IV четверти. Одного значения tg φ = b/a недостаточно: тангенс повторяет значения в разных четвертях, поэтому после его вычисления нужно свериться со знаками обеих функций.

Когда выражение заменено на R sin(x + φ) или R cos(x − φ), исходное уравнение сводится к простейшему тригонометрическому. Например, вместо двух слагаемых получают равенство вида R sin(x + φ) = c, а затем решают его относительно x + φ. При возвращении к x учитывают периодичность и не теряют ни одну серию корней.

Синусная и косинусная формы работают по одному принципу, потому что обе следуют из формул сложения. Выбирая одну из них, проверьте, какая формула раскрывается удобнее, и не меняйте знаки наугад. Условия R cos φ = a и R sin φ = b должны соответствовать коэффициентам именно в выбранной записи.

Сведение выражения a sin x + b cos x к одной функции

Сначала найдите амплитуду, затем установите знаки синуса и косинуса вспомогательного угла. После этого выберите форму записи и подставьте её в уравнение. В конце запишите все корни и проверьте, нужно ли ограничить их заданным промежутком.

Разбор задач

Решить уравнение sin x + cos x = 1.

1. Здесь a = 1 и b = 1, поэтому амплитуда R = √(1² + 1²) = √2. Оба коэффициента положительны, значит, sin φ и cos φ положительны. Подходит угол φ = π/4.
2. Заменим левую часть: sin x + cos x = √2 sin(x + π/4). Получаем √2 sin(x + π/4) = 1, то есть sin(x + π/4) = 1/√2. Синус равен 1/√2 при аргументах π/4 + 2πk и 3π/4 + 2πk.
3. Вычтем π/4 из обеих серий. Получаем x = 2πk или x = π/2 + 2πk, где k ∈ Z. Оба семейства корней сохраняют периодичность исходного уравнения.

Ответ: x = 2πk или x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.

Решить на отрезке [0; 2π] уравнение √3 sin x + cos x = 1.

1. Амплитуда равна R = √((√3)² + 1²) = 2. Условия для вспомогательного угла: cos φ = √3/2 и sin φ = 1/2, поэтому φ = π/6. Оба значения положительны, значит, угол в I четверти.
2. Левая часть равна 2 sin(x + π/6). Тогда sin(x + π/6) = 1/2. Решения для аргумента: x + π/6 = π/6 + 2πk или x + π/6 = 5π/6 + 2πk.
3. Отсюда x = 2πk или x = 2π/3 + 2πk. На отрезке [0; 2π] из первой серии подходят 0 и 2π, а из второй — 2π/3. Концы отрезка включены, поэтому оба учитываются.

Ответ: 0; 2π/3; 2π.

Решить уравнение 5 sin x − 12 cos x = 6.

1. Находим R = √(5² + (−12)²) = 13. Тогда cos φ = 5/13, а sin φ = −12/13. Косинус положителен, синус отрицателен, поэтому φ лежит в IV четверти; можно записать φ = −arctg(12/5).
2. Левая часть превращается в 13 sin(x + φ). Делим уравнение на 13: sin(x + φ) = 6/13. Обозначим α = arcsin(6/13), где 0 < α < π/2.
3. Для синуса получаем две серии: x + φ = α + 2πk или x + φ = π − α + 2πk. Вычитая φ, находим x; обе серии нужно сохранить, поскольку синус принимает одно и то же положительное значение в двух точках периода.

Ответ: x = α − φ + 2πk или x = π − α − φ + 2πk, где α = arcsin(6/13), φ = −arctg(12/5), k ∈ Z.

Типичные ошибки

• Амплитуду иногда считают как |a| + |b|, потому что складывают модули коэффициентов. Но нужный множитель связан с равенствами R cos φ = a и R sin φ = b, а не с суммой коэффициентов. Проверьте результат возведением этих равенств в квадрат и сложением: должно получиться R² = a² + b².

• Можно найти φ только из tg φ = b/a и выбрать не ту четверть. Это происходит потому, что тангенс не определяет знаки синуса и косинуса по отдельности. Проверьте cos φ = a/R и sin φ = b/R, затем убедитесь, что их знаки совпадают со знаками коэффициентов.

• При раскрытии sin(x + φ) или cos(x − φ) легко перепутать знаки слагаемых. Обычно ошибка появляется, если формулу сложения вспоминают по аналогии, не записывая её полностью. Подставьте формулу и отдельно сравните коэффициенты при sin x и cos x с исходными a и b.

• После замены некоторые записывают только один корень или забывают про заданный промежуток. Так происходит, если не учесть периодичность синуса и косинуса либо остановиться после нахождения общей серии. Запишите обе серии решений, где это требуется, и подставьте значения в ограничения задачи.

Связь с другими темами

Для введения вспомогательного угла нужно знать формулы синуса и косинуса суммы углов: именно они позволяют раскрыть новую запись и сравнить коэффициенты. Также понадобится понимание знаков синуса и косинуса в четвертях, чтобы выбрать угол без ошибки. Метод применяют при решении тригонометрических уравнений и неравенств, где синус и косинус имеют один и тот же аргумент.

Что запомнить

• Амплитуда выражения a sin x + b cos x равна √(a² + b²).
• В форме R sin(x + φ) выполняются равенства R cos φ = a и R sin φ = b.
• В форме R cos(x − φ) выполняются те же условия на cos φ и sin φ.
• Четверть вспомогательного угла выбирают по знакам обоих коэффициентов.
• После введения угла уравнение сводят к простейшему тригонометрическому.
• При записи ответа учитывают периодичность и, если требуется, заданный промежуток.