11.7. Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного

Определения и обозначения

Неравенство, сводящееся к простейшему заменой неизвестного, — это неравенство, которое после введения новой переменной решается как знакомое простейшее неравенство. Например, выражение x⁴ − 5x² + 4 можно рассматривать как квадратный трёхчлен относительно x². Такой приём позволяет использовать уже известные способы решения.

Замена неизвестного — запись t = f(x), с помощью которой повторяющееся выражение обозначают новой переменной. Вместо нескольких одинаковых частей появляется одно обозначение, и неравенство часто становится короче. Замена нужна не для изменения задачи, а для более удобного её решения.

Область допустимых значений замены — множество значений t, которые может принимать выражение f(x). Например, если t = x², то t ≥ 0, потому что квадрат не бывает отрицательным. Эти ограничения нужно учитывать, иначе в промежуточном ответе могут появиться значения, невозможные для исходной переменной.

Обратная замена — переход от найденных значений t к соответствующим значениям x. Если получено t ∈ T, нужно решить условие f(x) ∈ T, а не заменить букву t на x. Так получают ответ именно для исходного неравенства.

Как это устроено

Сначала ищут повторяющиеся части: одинаковые выражения, степени или конструкции, которые встречаются несколько раз. Например, в x⁴ − 5x² + 4 выражение x² повторяется, потому что x⁴ = (x²)². Поэтому удобно положить t = x²: исходное выражение становится квадратным трёхчленом относительно t.

После выбора замены нужно установить, какие значения она принимает. Это следует из свойств выражения f(x): квадрат неотрицателен, показательная функция 2ˣ положительна, а дробь x + 1/x определена только при x ≠ 0. Ограничения важны потому, что новая переменная не всегда может быть любым действительным числом.

Дальше решают полученное неравенство относительно t так, как если бы t была обычной переменной. Найденное множество пересекают с допустимыми значениями замены. Это пересечение оставляет только те результаты, которые действительно могли возникнуть из исходных x.

Затем выполняют обратный переход: если t = f(x) и найдено t ∈ T, решают f(x) ∈ T. Нельзя просто записать вместо t букву x, ведь новая переменная могла обозначать, например, квадрат исходной. Если f не монотонна на всей области определения, одно и то же значение t может соответствовать нескольким x, поэтому обратное условие нужно решить полностью.

Схема подходит для разных выражений. При замене t = x² учитывают t ≥ 0, при t = x + 1/x — исключают x = 0 и используют множество значений этой дробной суммы, а при t = 2ˣ учитывают t > 0. В последнем случае обратный переход часто упрощает монотонность показательной функции: большему значению 2ˣ соответствует большее x. Во всех случаях решается одна и та же задача — найти все исходные x, которые дают допустимые значения t.

Типичные замены и обратный переход к исходной переменной

В таблице показан пример, в котором новая переменная — квадрат исходной. Сначала реши неравенство относительно t и оставь только значения t ≥ 0. Потом подставь найденное множество T в условие x² ∈ T и реши его относительно x.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство x⁴ − 5x² + 4 ≤ 0.

1. Здесь повторяется x², поэтому положим t = x². Тогда t ≥ 0, а неравенство принимает вид t² − 5t + 4 ≤ 0.
2. Разложим трёхчлен: (t − 1)(t − 4) ≤ 0. Отсюда t ∈ [1, 4]; этот промежуток уже удовлетворяет условию t ≥ 0.
3. Возвращаемся к x: 1 ≤ x² ≤ 4. Значит, 1 ≤ |x| ≤ 2, то есть x ∈ [-2, -1] ∪ [1, 2].

Ответ: [-2, -1] ∪ [1, 2].

Задача 2. Решить неравенство (x + 1/x)² − 5(x + 1/x) + 6 ≤ 0.

1. Сначала учитываем область определения: x ≠ 0. Обозначим t = x + 1/x. Для действительных x такие t удовлетворяют t ≤ −2 или t ≥ 2.
2. Получаем t² − 5t + 6 ≤ 0, то есть (t − 2)(t − 3) ≤ 0. Следовательно, t ∈ [2, 3]; с учётом допустимых значений остаётся тот же промежуток.
3. Решаем x + 1/x ∈ [2, 3]. Значение t положительно, значит, x > 0. При x > 0 неравенство x + 1/x ≤ 3 равносильно x² − 3x + 1 ≤ 0, откуда x ∈ [(3 − √5)/2, (3 + √5)/2]. Нижняя граница условия x + 1/x ≥ 2 выполняется автоматически.

Ответ: [(3 − √5)/2, (3 + √5)/2].

Задача 3. Решить неравенство 2²ˣ − 5·2ˣ + 6 ≥ 0.

1. Положим t = 2ˣ. Поскольку показательная функция положительна, t > 0. Тогда получаем квадратное неравенство t² − 5t + 6 ≥ 0.
2. Разложение (t − 2)(t − 3) ≥ 0 даёт t ≤ 2 или t ≥ 3. После учёта условия t > 0 имеем t ∈ (0, 2] ∪ [3, ∞).
3. Возвращаемся к x. Функция 2ˣ возрастает, поэтому 2ˣ ≤ 2 равносильно x ≤ 1, а 2ˣ ≥ 3 равносильно x ≥ log₂3.

Ответ: x ∈ (−∞, 1] ∪ [log₂3, ∞).

Типичные ошибки

При замене t = x² иногда решают неравенство для любых действительных t. Так поступают, забывая, что квадрат неотрицателен; из-за этого могут появиться лишние решения. Проверь себя: выпиши допустимые значения сразу после замены и пересекни с ними найденное множество.

Другая ошибка — остановиться после решения неравенства относительно t и не записать ответ через x. Она возникает, когда промежуточный результат принимают за окончательный. Проверь, соответствует ли каждому элементу полученного множества конкретное значение исходной переменной, и реши условие f(x) ∈ T.

При обратном переходе можно неверно решить f(x) ∈ T или потерять часть решений. Например, если выражение не монотонно, разные x могут давать одно значение t, а рассмотрение только одной ветви оставит ответ неполным. Проверяй каждый промежуток области определения и подставляй границы в исходное условие.

Наконец, при замене t = x + 1/x иногда допускают x = 0. Причина — внимание сосредоточено на новой переменной, а область определения исходного выражения забыта. Перед решением выпиши запрет x ≠ 0 и в конце убедись, что найденный ответ ему удовлетворяет.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужны навыки решения линейных и квадратных неравенств: именно к ним часто приводит замена. Ещё важно находить область определения выражения и его множество значений, чтобы не приписывать новой переменной невозможные значения. Эти умения помогают правильно выполнить обратный переход и проверить ответ.

При работе с t = x² используются свойства степенной функции, а при замене t = 2ˣ — свойства показательной функции и её монотонность. Понимание того, возрастает функция или убывает, позволяет правильно переводить неравенства обратно к x. Приём замены пригодится и в более сложных алгебраических и показательных неравенствах.

Что запомнить

• Выбирай замену так, чтобы неравенство стало проще.
• Перед решением установи допустимые значения новой переменной.
• Реши неравенство относительно новой переменной.
• Не забывай ограничения исходного выражения.
• Выполни обратную замену и вырази ответ через x.
• Проверь, что каждому найденному значению x соответствует допустимое значение новой переменной.