11.6. Простейшие неравенства для тангенса и котангенса

Определения и обозначения

Тангенс угла x — отношение синуса к косинусу: tg x = sin x / cos x. Он определён при cos x ≠ 0, то есть при x ≠ π/2 + πk, где k ∈ Z. Это отношение удобно тем, что связывает угол с числом, по которому можно находить границы решения неравенства.

Котангенс угла x — отношение косинуса к синусу: ctg x = cos x / sin x. Область определения задаётся условием sin x ≠ 0, поэтому x ≠ πk. Котангенс помогает решать неравенства на своих ветвях, но направление изменения у него противоположно тангенсу.

Простейшее тригонометрическое неравенство — неравенство вида tg x > a, tg x < a, ctg x > a или ctg x < a, где a — заданное число. Его решают, находя угол, соответствующий значению a, а затем определяя нужную часть графика. Такой способ заменяет сложное преобразование выражений исследованием одной ветви функции.

Арктангенс и арккотангенс задают угол, при котором тангенс или котангенс равен заданному числу: если arctg a = α, то tg α = a; если arcctg a = β, то ctg β = a. Для арктангенса выбирают α из (−π/2; π/2), а для арккотангенса — β из (0; π). Эти значения служат граничными углами при решении неравенств.

Как это устроено

После прибавления π точка на единичной окружности оказывается диаметрально противоположной исходной: обе её координаты меняют знак. Поэтому синус и косинус одновременно умножаются на −1, а их отношение сохраняется. Отсюда tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x, то есть достаточно решить неравенство на одной ветви, а затем повторить ответ с периодом π.

На промежутке (−π/2; π/2) тангенс проходит все значения от −∞ до +∞ и возрастает. При переходе к любой другой ветви добавляется πk, но направление изменения остаётся тем же. Котангенс, напротив, на (0; π) убывает от +∞ до −∞: когда угол увеличивается, отношение cos x / sin x уменьшается. Так объясняются промежутки монотонности: (−π/2 + πk; π/2 + πk) для tg x и (πk; π + πk) для ctg x.

Чтобы решить неравенство на одной ветви, сначала найдите угол равенства функции числу a. На графике проведите мысленно горизонтальный уровень y = a и посмотрите, где ветвь расположена выше или ниже него; на окружности ту же границу задаёт соответствующий угол. Затем перенесите найденный промежуток на остальные ветви прибавлением πk. Такой порядок не позволяет смешать отдельное решение на одной ветви с полным ответом.

Точки, где функция не определена, нельзя включать: в них знаменатель sin x или cos x равен нулю, и значения функции нет. Граничный угол, где функция равна a, включают только при знаках ≥ или ≤; при строгих знаках > и < он исключается. При этом граничную точку обязательно проверяют на принадлежность области определения, даже если неравенство нестрогое.

Монотонность объясняет направление промежутка. Если tg x > a, то x больше угла arctg a на соответствующей ветви: тангенс возрастает вместе с аргументом. Для котангенса всё наоборот: из ctg x > a следует, что x меньше угла, при котором ctg x = a, потому что с ростом x котангенс убывает. При переходе к следующей ветви к границам добавляют πk.

Свойства тангенса, котангенса и шаблоны простейших неравенств

В таблице приведены решения на ветвях, записанные с целым k; знаки на границах меняют в соответствии со строгим или нестрогим неравенством. Для нестрогого знака включайте граничный угол равенства, а конец ветви, где функция не определена, не включайте никогда. При решении сначала определите нужную функцию и её направление изменения, затем подставьте найденный опорный угол.

Разбор задач

1. Решить неравенство tg x > 1.

1. На каждой ветви тангенс возрастает, поэтому искомые x должны лежать правее точки, в которой tg x = 1.
2. Так как arctg 1 = π/4, на ветви (−π/2 + πk; π/2 + πk) получаем π/4 + πk < x < π/2 + πk. Правая граница открыта, поскольку тангенс там не определён.
3. Ответ: x ∈ (π/4 + πk; π/2 + πk), k ∈ Z.

2. Решить неравенство ctg x ≤ −√3.

1. На ветви (0; π) котангенс убывает. Равенство ctg x = −√3 достигается при x = 5π/6, так как ctg(5π/6) = −√3.
2. Для значений котангенса, меньших −√3, аргумент должен быть больше 5π/6. Равенство включается из-за знака ≤, поэтому на одной ветви получаем 5π/6 ≤ x < π.
3. Повторяем решение с периодом π. Точку π + πk не включаем: там котангенс не определён.
4. Ответ: x ∈ [5π/6 + πk; π + πk), k ∈ Z.

3. Решить систему tg x > 1 и ctg x ≤ 1/2.

1. Из tg x > 1 получаем π/4 + πk < x < π/2 + πk. На этом участке тангенс положителен, а значит, ctg x = 1 / tg x.
2. Условие ctg x ≤ 1/2 при положительном тангенсе равносильно tg x ≥ 2. Поэтому x ≥ arctg 2 + πk; угол равенства включается.
3. Пересекаем промежутки. Поскольку arctg 2 > π/4, итоговый участок — от arctg 2 + πk включительно до π/2 + πk не включительно.
4. Ответ: x ∈ [arctg 2 + πk; π/2 + πk), k ∈ Z. Точки разрыва тангенса на правой границе исключены, а точек разрыва котангенса внутри участка нет.

Типичные ошибки

Использовать период 2π вместо π — значит переносить на отношение период синуса или косинуса, не проверяя его. Такое решение может пропустить целые промежутки. Проверьте ответ подстановкой x + π: значения tg и ctg должны повториться, поэтому к найденным решениям нужно добавлять πk.

Точки x = πk для котангенса и x = π/2 + πk для тангенса не входят в область определения. Их иногда забывают, потому что видят только конечные точки промежутка на графике. Подставьте каждую границу в знаменатель определения: если знаменатель нулевой, точка всегда исключается.

Для котангенса иногда выбирают промежуток так же, как для тангенса, хотя ctg x убывает. Ошибка возникает из-за привычки считать, что большей функции соответствует больший аргумент. Найдите угол равенства и проверьте, с какой стороны от него на графике значения функции больше: у котангенса они расположены слева.

Граничную точку могут включить при строгом знаке или исключить при нестрогом. Обычно это происходит, когда ученик механически записывает скобки, не подставляя граничное значение. Подставьте его в исходное неравенство: при > или < равенство не подходит, а при ≥ или ≤ подходит, если функция определена.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны единичная окружность и радианная мера угла: они помогают находить значения тангенса и котангенса и определять положения точек. Также нужно знать области определения и монотонность обеих функций, иначе легко включить точку разрыва или выбрать неверную сторону промежутка. Решение простейших неравенств становится основой для более сложных тригонометрических неравенств, систем и задач с параметрами. Графики тангенса и котангенса пригодятся при исследовании функций и построении преобразованных графиков.

Что запомнить

• Период тангенса и котангенса равен π.
• tg x не определён при x = π/2 + πk.
• ctg x не определён при x = πk.
• Тангенс возрастает на каждой ветви, а котангенс убывает.
• Решение записывают на всех ветвях с помощью целого параметра k.
• При строгом неравенстве граничные точки не включаются, при нестрогом включаются, если функция в них определена.

Как это устроено

На графиках видно, что ветви повторяются через π, тангенс возрастает, а котангенс убывает; вертикальные асимптоты соответствуют точкам, где функции не определены.