"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Простейшие неравенства для синуса и косинуса помогают найти все углы, при которых значение функции больше или меньше заданного числа. Число a задаёт горизонтальный уровень, а точки пересечения с ним определяют границы промежутков. Чтобы выбрать нужные части периода, удобно смотреть на график или единичную окружность. Затем решения переносят на всю числовую прямую, прибавляя период 2πk. Отдельно проверяют границы промежутков и случаи, когда a выходит за отрезок [−1; 1].
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Простейшее неравенство для синуса — это неравенство вида sin x > a, sin x < a, sin x ≥ a или sin x ≤ a. Здесь x — неизвестный угол, а задача состоит в том, чтобы найти все значения x, при которых сравнение верно. Число a называют границей, с которой сравнивают синус.
Простейшее неравенство для косинуса устроено так же: cos x > a, cos x < a или неравенство с нестрогим знаком. Значение a задаёт уровень, выше или ниже которого должен находиться косинус. Такая запись позволяет свести разные задачи к выбору подходящих промежутков.
Арксинус числа a, обозначаемый arcsin a, — это такое число из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a. Он определён при −1 ≤ a ≤ 1. Арксинус нужен, чтобы записать угол, в котором синус достигает границы неравенства.
Арккосинус числа a, обозначаемый arccos a, — это число из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Он существует при −1 ≤ a ≤ 1. С его помощью задают граничный угол в неравенствах с косинусом.
Сначала проверяют, может ли функция вообще принять значение a. Синус и косинус меняются только от −1 до 1, поэтому при a внутри этого отрезка горизонтальный уровень y = a пересекает их графики. Если a вне отрезка, пересечений нет, и решение определяют по тому, что функция не выходит за свои пределы.
На единичной окружности точке угла x соответствуют координаты (cos x; sin x). Поэтому sin x > a означает, что ордината точки выше уровня a, а cos x > a — что её абсцисса больше a. Представление через координаты помогает увидеть, какие дуги окружности подходят, вместо того чтобы угадывать промежуток по формуле.
Для синуса граничные точки одного периода задаются углами arcsin a и π − arcsin a. Между ними график синуса находится выше уровня a, а снаружи — ниже; поэтому для sin x > a берут промежуток между граничными углами. Для косинуса границы на окружности соответствуют углам arccos a и −arccos a, и нужные дуги расположены иначе.
Найденный промежуток описывает только часть числовой прямой, соответствующую одному обороту. Поскольку синус и косинус повторяются через 2π, каждое решение повторяется при прибавлении 2πk, где k — целое число. Так из промежутка на одном периоде получают все решения.
Знак сравнения определяет, включать ли точки, где функция равна a: строгий знак исключает их, а нестрогий включает. Особого внимания требуют a = −1 и a = 1: один из промежутков может стать пустым или охватывать почти весь период, кроме точек экстремума. При a вне [−1; 1] нужно сравнить границу с возможными значениями функции напрямую.
В таблице приведены промежутки для строгих неравенств. Здесь k ∈ Z, A = arcsin a, B = arccos a; все промежутки повторяются с периодом 2π.
| Неравенство | Решение |
|---|---|
| sin x > a | A + 2πk < x < π − A + 2πk |
| sin x < a | π − A + 2πk < x < 2π + A + 2πk |
| cos x > a | −B + 2πk < x < B + 2πk |
| cos x < a | B + 2πk < x < 2π − B + 2πk |
| Замена строгого знака на нестрогий | Граничные точки включают: вместо < используют ≤, вместо круглых скобок — квадратные |
Сначала подставь своё значение a и вычисли соответствующий арксинус или арккосинус. Затем выбери строку с нужной функцией и знаком, не забывая о периодических переносах. Если получается граничное значение a = ±1, проверь отдельно, не вырождается ли промежуток.
Задача 1. Решить sin x > 0. Синус положителен на верхней полуокружности: от 0 до π, не включая концы, где он равен нулю. На остальных оборотах та же дуга повторяется, поэтому к промежутку нужно добавить целое число периодов.
Ответ: 2πk < x < π + 2πk, k ∈ Z.
Задача 2. Решить cos x ≤ ½. Сначала находим граничный угол: arccos(½) = π/3. Косинус меньше ½ на дуге от π/3 до 2π − π/3; поскольку неравенство нестрогое, обе границы входят в решение.
Ответ: π/3 + 2πk ≤ x ≤ 5π/3 + 2πk, k ∈ Z.
Задача 3. Решить 2 sin x − 1 > 0. Прежде чем выбирать промежуток, нужно выразить синус отдельно: тогда задача принимает стандартный вид sin x > a. Полученную границу проверяем на принадлежность отрезку [−1; 1].
Ответ: π/6 + 2πk < x < 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
Если записать только промежуток на одном периоде, будут потеряны решения за его пределами. Это происходит, когда находят подходящую дугу, но забывают, что функция повторяется. Проверь ответ: в нём должно быть слагаемое 2πk, k ∈ Z.
Нельзя переносить промежуток для синуса на косинус без проверки: синус задаёт вертикальную координату, а косинус — горизонтальную. Из-за этого точки пересечения и подходящие дуги различаются. Подставь любой угол из выбранного промежутка в исходное неравенство: если оно неверно, выбрана не та дуга.
При строгом знаке граничные точки не входят в решение, а при нестрогом входят. Ошибку допускают, потому что сосредотачиваются на найденных углах и не проверяют исходный знак. Подставь граничный угол: функция там равна a, значит, он подходит только для знака ≥ или ≤.
Арксинус и арккосинус нельзя применять к числу вне [−1; 1]. Иногда число a сразу подставляют в обратную функцию, не проверяя диапазон синуса и косинуса. Сначала сравни a с −1 и 1 и реши, может ли функция достичь такого уровня.
Для решения этих неравенств нужны единичная окружность, графики синуса и косинуса и знание их периода. Значения функций на основных углах помогают быстро находить границы, например arcsin(½) = π/6 и arccos(½) = π/3. Эти навыки пригодятся при решении более сложных тригонометрических неравенств, где сначала преобразуют выражение, а затем сводят его к простейшему виду. Периодичность также важна при описании повторяющихся процессов.
Почему при решении нужно добавлять 2πk?
Синус и косинус повторяют свои значения через каждые 2π. Поэтому после нахождения решений на одном периоде нужно учесть такие же промежутки на всей числовой прямой: для этого добавляют 2πk, где k — любое целое число.
Как понять, какую часть периода выбрать для sin x > a?
Найди точки, где sin x = a: это arcsin a и π − arcsin a на периоде от 0 до 2π. Синус больше a там, где график расположен выше горизонтального уровня y = a; соответствующий промежуток повторяется с периодом 2π.
Чем отличаются решения sin x > a и cos x > a?
У синуса границы выражаются через arcsin a, а у косинуса — через arccos a. На единичной окружности синус показывает ординату точки, а косинус — абсциссу, поэтому выбираются разные дуги.
Что делать, если a больше 1 или меньше −1?
Сначала используй тот факт, что значения синуса и косинуса лежат от −1 до 1. Если a > 1 или a < −1, сравнение сразу определяет, есть ли решения: например, sin x > a при a ≥ 1 решений не имеет, а при a < −1 верно для всех x.
Как меняются концы промежутков при замене > на ≥?
При строгом неравенстве точки, где функция равна a, не входят в решение, поэтому концы промежутков открытые. При нестрогом знаке эти точки добавляют, и концы становятся включёнными; для этого используют квадратные скобки.
11.5. Простейшие неравенства для синуса и косинуса
