11.4. Однородные уравнения

Определения и обозначения

Однородное тригонометрическое уравнение — уравнение, в котором каждый член является произведением степеней sin x и cos x, а суммы показателей степеней во всех членах одинаковы. Например, в выражении sin² x + sin x cos x − 2cos² x эта сумма равна 2. Такое свойство позволяет применить единый способ преобразования.

Степень однородного уравнения — общая сумма показателей sin x и cos x в каждом члене. Если эта сумма равна n, уравнение обычно делят на cosⁿ x. Знание степени помогает правильно выполнить деление и получить выражение через tg x.

Однородное уравнение второй степени имеет вид a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0, где коэффициенты a, b и c не равны нулю одновременно. В каждом члене сумма показателей равна 2. После деления такое уравнение превращается в квадратное относительно tg x.

Приведённое уравнение получают после деления однородного уравнения на cosⁿ x и замены sin x / cos x на tg x. Например, выражение sin² x / cos² x становится tg² x. Перед этим обязательно отдельно рассматривают случай cos x = 0.

Как это устроено

Равенство степеней позволяет делить все члены на одну и ту же степень cos x. Например, при степени 2 выражения sin² x, sin x cos x и cos² x после деления на cos² x превращаются соответственно в tg² x, tg x и 1. Именно поэтому исходное тригонометрическое уравнение можно заменить алгебраическим уравнением для новой переменной tg x.

Деление допустимо только тогда, когда cos x ≠ 0, поэтому случай cos x = 0 проверяют первым. При таких значениях x подставляют известные значения sin x и cos x прямо в исходное уравнение. Если получается верное равенство, найденные значения нужно включить в ответ; если неверное, этот случай решений не даёт.

Если cos x = 0 не подходит, можно считать cos x ненулевым и разделить каждый член на cosⁿ x. В результате степени cos сокращаются, а отношения sin x / cos x заменяются тангенсом. Получается уравнение только относительно tg x, которое решают обычными алгебраическими методами.

После нахождения значения t нельзя записывать только одно число для x. Нужно решить уравнение tg x = t, учитывая период тангенса: x = arctg t + πk, k ∈ Z. Для уравнения второй степени сначала находят корни квадратного уравнения, затем каждый корень переводят в отдельную серию значений x.

Формы однородных уравнений и способ их решения

Сначала найдите степень уравнения и выберите соответствующую строку в таблице. Затем выполните обязательную проверку cos x = 0 и только после неё делите на cosⁿ x. Полученные корни подставляют в общее решение уравнения с тангенсом.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение sin² x + sin x cos x − 2cos² x = 0.

1. Проверим cos x = 0. Тогда sin² x = 1, а cos x = 0, поэтому левая часть равна 1, а не 0; этот случай решений не даёт.
2. Делим уравнение на cos² x: tg² x + tg x − 2 = 0. Разложение даёт (tg x − 1)(tg x + 2) = 0, поэтому tg x = 1 или tg x = −2.
3. Для первого корня получаем x = π/4 + πk, а для второго — x = −arctg 2 + πk, где k ∈ Z.

Ответ: x = π/4 + πk или x = −arctg 2 + πk, k ∈ Z.

Задача 2. Решить уравнение 2sin² x − 3sin x cos x + cos² x = 0 на [0; 2π].

1. При cos x = 0 левая часть равна 2sin² x = 2, поэтому такие значения не подходят. Можно делить на cos² x.
2. После деления получаем 2tg² x − 3tg x + 1 = 0. Разложение: (2tg x − 1)(tg x − 1) = 0, значит tg x = ½ или tg x = 1.
3. На заданном промежутке корню tg x = 1 соответствуют π/4 и 5π/4. Корню tg x = ½ соответствуют arctg ½ и π + arctg ½.

Ответ: x ∈ {π/4; 5π/4; arctg ½; π + arctg ½}.

Задача 3. Решить уравнение sin³ x − 3sin x cos² x = 0.

1. Если cos x = 0, то sin³ x = ±1, а второй член равен 0. Левая часть не равна нулю, поэтому этот случай исключается.
2. Делим на cos³ x и получаем tg³ x − 3tg x = 0. Выносим общий множитель: tg x(tg² x − 3) = 0.
3. Отсюда tg x = 0, tg x = √3 или tg x = −√3. Соответствующие серии имеют вид x = πk, x = π/3 + πk и x = −π/3 + πk, где k ∈ Z.

Ответ: x = πk, x = π/3 + πk или x = −π/3 + πk, k ∈ Z.

Типичные ошибки

Деление на cosⁿ x без проверки cos x = 0 может исключить настоящие решения. Так происходит потому, что делить на ноль нельзя. Проверьте этот случай в исходном уравнении до любых преобразований.

Иногда однородным называют любое уравнение, где встречаются sin x и cos x. Ошибка возникает, если не сравнить суммы показателей в каждом члене. Выпишите степени отдельно и убедитесь, что их общая сумма везде одинакова.

При делении можно неверно заменить sin x / cos x на tg x или потерять степень. Причина обычно в том, что каждый член преобразуют устно, не записывая промежуточный шаг. Разделите каждый член отдельно и проверьте, что cos в знаменателе сокращается полностью.

Найденный корень тангенса иногда превращают только в одно значение x. Но тангенс периодичен с периодом π, поэтому одно такое значение даёт бесконечную серию. Записывайте x = arctg t + πk и указывайте k ∈ Z.

Связь с другими темами

Для решения нужны определения синуса, косинуса и тангенса, формула tg x = sin x / cos x, а также тождество sin² x + cos² x = 1. Эти знания позволяют проверять отдельные случаи и выполнять преобразования. Без них переход к тангенсу будет формальным и легко приведёт к ошибкам.

Метод опирается на решение квадратных и многочленных уравнений. Тригонометрическая задача после замены фактически становится алгебраической задачей относительно tg x. Приём помогает решать более сложные тригонометрические уравнения и системы.

Что запомнить

• Во всех членах однородного уравнения сумма степеней sin x и cos x одинакова.
• До деления на cosⁿ x обязательно проверяют случай cos x = 0.
• При cos x ≠ 0 деление на cosⁿ x позволяет перейти к tg x.
• Уравнение второй степени сводится к квадратному уравнению относительно tg x.
• Каждому корню уравнения для tg x соответствует серия решений для x с периодом π.