11.3. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений

Определения и обозначения

Тригонометрическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная входит в аргумент тригонометрической функции: например, sin x = ½. Его решения — все значения неизвестной, при подстановке которых равенство становится верным. Поэтому обычно нужно найти не один корень, а целое множество значений.

Основное тригонометрическое тождество — равенство sin² x + cos² x = 1. Оно позволяет заменить квадрат синуса выражением 1 − cos² x или квадрат косинуса выражением 1 − sin² x. Благодаря этому уравнение с двумя функциями можно свести к уравнению только с синусом или только с косинусом.

Формулы двойного угла — равенства sin 2x = 2 sin x cos x и cos 2x = cos² x − sin² x. Они связывают функцию от аргумента 2x с функциями от x. С их помощью произведение заменяют функцией двойного угла или, наоборот, раскрывают cos 2x через квадраты синуса и косинуса.

Формулы приведения выражают значения функций от связанных с x аргументов через функции самого x. Например, они помогают заменить sin(π − x) на sin x или cos(π − x) на −cos x. Их цель — привести разные аргументы к одной функции и получить знакомое простейшее уравнение.

Как это устроено

Если в уравнении стоят sin² x и cos² x, сначала ищут возможность использовать сумму sin² x + cos² x = 1. Например, заменяя cos² x на 1 − sin² x, мы оставляем только одну неизвестную величину — sin x. После такой замены уравнение часто становится линейным или квадратным относительно значения синуса.

Произведение sin x cos x удобно узнавать по формуле sin 2x = 2 sin x cos x. Множитель 2 нужен потому, что при раскрытии sin(x + x) появляются два одинаковых слагаемых. Обратное преобразование полезно, когда в уравнении есть sin 2x и нужно перейти к квадратам или произведению функций от x.

Выбор формы для cos 2x зависит от того, какая функция уже есть в уравнении. Если встречается sin x, используют cos 2x = 1 − 2 sin² x, а при наличии cos x — cos 2x = 2 cos² x − 1. Так аргументы становятся одинаковыми, и уравнение можно рассматривать как квадратное относительно sin x или cos x.

Формулы приведения нужны, когда в одном уравнении встречаются, например, sin(π − x) и cos x. Они меняют аргументы и, при необходимости, знак функции, чтобы все слагаемые зависели от одной величины. Общая последовательность такова: выбрать тождество, выполнить равносильные преобразования, решить упрощённое уравнение и проверить допустимость корней.

Особая осторожность нужна при делении на sin x, cos x или другое тригонометрическое выражение. Если делитель равен нулю, такое преобразование запрещено и соответствующие решения исчезнут из рассуждения. Поэтому сначала рассматривают случай, когда делитель равен нулю, а затем решают уравнение при условии, что он не равен нулю.

Основные формулы и их применение при решении уравнений

Сначала определите, какое выражение мешает решению: произведение, квадрат функции или разные аргументы. Затем выберите строку таблицы, которая превращает его в более простой вид. После преобразования проверьте ограничения и запишите все корни, а не только первый найденный угол.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение sin² x + cos² x = 1. Здесь левая часть уже совпадает с основным тригонометрическим тождеством, поэтому дополнительных преобразований не требуется.

1. Используем равенство sin² x + cos² x = 1.
2. Получаем тождественно верное равенство 1 = 1.
3. Синус и косинус определены при любом действительном x, поэтому ограничений нет.

Ответ: x ∈ R.

Задача 2. Решить 2 sin x cos x = 0 на [0; 2π]. Произведение узнаётся как синус двойного угла, что позволяет получить одно простейшее уравнение.

1. По формуле двойного угла 2 sin x cos x = sin 2x, поэтому sin 2x = 0.
2. Синус равен нулю, когда 2x = πn, n ∈ Z, значит x = πn/2.
3. На отрезке [0; 2π] подходят n = 0, 1, 2, 3, 4.

Ответ: x ∈ {0; π/2; π; 3π/2; 2π}.

Задача 3. Решить cos 2x = sin x на [0; 2π]. В правой части уже стоит синус, поэтому косинус двойного угла выгодно заменить через sin² x.

1. Подставляем cos 2x = 1 − 2 sin² x: 1 − 2 sin² x = sin x.
2. Переносим всё в одну часть: 2 sin² x + sin x − 1 = 0.
3. Обозначаем t = sin x и решаем 2t² + t − 1 = 0: t = ½ или t = −1. Оба значения допустимы, поскольку принадлежат [−1; 1].
4. Из sin x = ½ получаем x = π/6 и x = 5π/6, а из sin x = −1 — x = 3π/2 на заданном отрезке.

Ответ: x ∈ {π/6; 5π/6; 3π/2}.

Типичные ошибки

Деление без проверки. Деление на sin x или cos x может убрать корни, при которых делитель равен нулю. Такую ошибку допускают, стремясь быстрее сократить выражение; проверяйте отдельно случай нулевого делителя.

Неверная формула двойного угла. Иногда забывают множитель 2 в записи sin 2x = 2 sin x cos x или ставят неправильный знак в формуле косинуса. Сверяйте формулу с определением двойного угла и подставляйте простой угол для самопроверки.

Ошибки в квадратном уравнении. После замены cos 2x легко неверно раскрыть скобки или перенести слагаемое. Запишите промежуточную строку и подставьте найденные значения обратно в квадратное уравнение.

Неполный ответ. Найденное значение синуса или косинуса обычно соответствует нескольким углам, а на промежутке могут быть дополнительные корни. Отметьте все решения на периоде функции и проверьте границы заданного промежутка.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать основное тождество, значения синуса и косинуса, формулы приведения и двойного угла. Также необходимы навыки решения простейших тригонометрических уравнений и понимание периодичности функций. Эти приёмы становятся основой для уравнений с несколькими тригонометрическими функциями и разными аргументами.

Что запомнить

• Основное тождество: sin² x + cos² x = 1.
• Формула двойного угла для синуса: sin 2x = 2 sin x cos x.
• cos 2x можно выразить через квадрат синуса или косинуса.
• Формулы выбирают так, чтобы свести уравнение к знакомому виду.
• Перед делением на выражение проверьте, не обращается ли оно в ноль.
• После преобразований проверьте корни и запишите все решения с учётом периода.